[論文レビュー] Estimating Weighted Matchings in $o(n)$ Space

Elena Grigorescu, Morteza Monemizadeh+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 25, 2016

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 24被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、ストリーミンググラフにおける最大重み付きマッチング（MWM）問題を、最大基数マッチング（MCM）問題へ新たな還元を提示し、o(n)空間でMWMの2(1+ε)-近似を達成する。この手法はエッジを重みで分割し、重み付き部分ストリームにストリーミングMCM推定器を適用し、推定値を統合することで、平面グラフにおいて(48+ε)-近似を達成する。

ABSTRACT

We consider the problem of estimating the weight of a maximum weighted matching of a weighted graph $G(V,E)$ whose edges are revealed in a streaming fashion. We develop a reduction from the maximum weighted matching problem to the maximum cardinality matching problem that only doubles the approximation factor of a streaming algorithm developed for the maximum cardinality matching problem. Our results hold for the insertion-only and the dynamic (i.e, insertion and deletion) edge-arrival streaming models. The previous best-known reduction is due to Bury and Schwiegelshohn (ESA 2015) who develop an algorithm whose approximation guarantee scales by a polynomial factor. As an application, we obtain improved estimators for weighted planar graphs and, more generally, for weighted bounded-arboricity graphs, by feeding into our reduction the recent estimators due to Esfandiari et al. (SODA 2015) and to Chitnis et al. (SODA 2016). In particular, we obtain a $(48+ε)$-approximation estimator for the weight of a maximum weighted matching in planar graphs.

研究の動機と目的

• サブ線形空間、特にo(n)空間でストリーミンググラフにおける最大重み付きマッチング（MWM）を推定する課題に対処すること。
• 従来の還元手法が近似因子を多項式的に悪化させることの限界を克服し、実用的および理論的応用において非効率であるのを避けること。
• 近似因子を2(1+ε)の要因で保ったまま、既存のMCM推定器をMWM推定に活用できる一般化された還元フレームワークを開発すること。
• 敵対的エッジ順序を想定する挿入のみのストリーミングモデルおよび動的（エッジの挿入と削除）ストリーミングモデルの両方において、フレームワークを強化すること。
• 平面グラフや有界な木辺性グラフなどの構造的グラフクラスに対して、この還元と既存のMCM推定器を組み合わせることで、より良い近似保証を得ること。

提案手法

• 重みの(1+ε)の累乗に基づいて、重みクラスを対数的サイズに分割し、エッジをS_iに分類する。ここで、エッジの重みは[(1+ε)^i, (1+ε)^{i+1})に属する。
• 各部分ストリームS_iに対して、未重み付きS_iにおける最大マッチングのサイズを推定するため、ストリーミングMCMアルゴリズムを適用する。
• 各部分ストリームから得られる推定マッチングサイズΔ_iを用いて、加重和A_0 = Σ_i Δ_i (1+ε)^iを構築し、最大重み付きマッチングの総重みの推定値とする。
• 集中と確率的バインディングを活用し、各部分ストリームで推定マッチングサイズΔ_iが真のMCMサイズのλ倍以内である確率を高く保証する。
• 各部分ストリームの推定値に基づく上界と下界を用いて、最大マッチング内のエッジ重みの合計をバインドすることで、総推定値A_0が真のMWM重みの2λ(1+ε)-近似であることを証明する。
• すべてのO(log n)個の部分ストリームにわたる和集合バインディングを適用し、高確率での正しさを維持する。各部分ストリームにS(n, δ/(c log n))の空間が必要であり、合計でO(S(n, δ/(c log n)) log n)の空間が得られる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ストリーミンググラフにおける最大重み付きマッチングを、o(n)空間で定数近似因子を保ったまま推定することは可能か？
• RQ2 MWM問題をMCM問題に還元する際に、近似比の悪化を多項式的ではなく定数倍に抑えられるか？
• RQ3 敵対的エッジ順序を想定する挿入のみのストリーミングモデルおよび動的（エッジの挿入と削除）ストリーミングモデルの両方において、この還元をどのようにして強靭化できるか？
• RQ4 この還元フレームワークを用いることで、平面グラフや有界な木辺性グラフなどの構造的グラフクラスに対して、どのような近似保証を達成できるか？
• RQ5 既存のo(n)-空間MCM推定器を、この還元と効果的に組み合わせることで、特定のグラフ族に対する改善されたMWM推定器を構築できるか？

主な発見

• 提案された還元は、先行研究における多項式的近似悪化と比べて顕著に改善された、最大重み付きマッチング問題における2(1+ε)-近似因子を達成する。
• この手法は、挿入のみのストリーミングモデルおよび動的ストリーミングモデルの両方をサポートし、適用範囲を広げる。
• 重み付き平面グラフに対しては、SODA 2015およびSODA 2016の既存のMCM推定器と組み合わせることで、(48+ε)-近似推定器を達成する。
• 空間計算量はO(S(n, δ/(c log n)) log n)であり、S(n, δ)は下位のMCM推定器が要する空間である。これにより、既存のo(n)-空間MCMアルゴリズムを効率的に活用できる。
• 分析により、MCM推定器が要因λの範囲内で正確であるという仮定の下で、推定値A_0が真のMWM重みの2λ(1+ε)-近似であることが高確率で保証される。
• この還元は一般性があり、任意の単調グラフ性質に適用可能であるため、このようなグラフの重み付き版に対して、効率的かつ近似品質に損なわれることなく、専用のMCM推定器を再利用できる。