[論文レビュー] Estimation of Lyapunov dimension for the Chen and Lu systems

Г. А. Леонов, Н. В. Кузнецов+2 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2015

Chaos control and synchronization参考文献 15被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、一般化されたローレンツ系に対するレオンフュイの解析的手法を用いて、チェンおよびルー系のリャプノフ次元の誤った推定値を是正する。古典的パラメータがリャプノフ次元の境界が有効となるパrameter領域に含まれないことが示され、数値的証拠が混沌とした吸引子の存在を示唆しているにもかかわらず、その吸引子の次元は未解決の問題のまま残っている。

ABSTRACT

Nowadays various estimates of Lyapunov dimension of Lorenz-like systems attractors are actively developed. Within the frame of this study the question arises whether it is possible to obtain the corresponding estimates of dimension for the Chen and Lu systems using the reduction of them to the generalized Lorenz system. In the work (Chen and Yang, 2013) Leonov's method was applied for the estimation of Lyapunov dimension, and as a consequence the Lyapunov dimension of attractors of the Chen and Lu systems with the classical parameters was estimated. In the present work an inaccuracy in (Chen and Yang, 2013) is corrected and it is shown that the revised domain of parameters, where the estimate of Lyapunov dimension is valid, does not involve the classical parameters of the Chen and Lu systems.

研究の動機と目的

• チェンおよびルー系のリャプノフ次元に関する先行の解析的推定値の不正確さを是正すること。
• レオンフュイの手法によるリャプノフ次元の境界が有効となるパラメータ領域を特定すること。
• チェンおよびルー系の古典的パラメータがその有効領域に含まれるかどうかを評価すること。
• 一般化ローレンツ系に対して $ d=0 $ および負のパラメータを含む場合に、解析的手法が適用可能かどうかを調査すること。

提案手法

• 直接リャプノフ法に基づくレオンフュイの解析的手法を用いて、一般化ローレンツ系における不変集合のリャプノフ次元を推定する。
• チェンおよびルー系を $ a=1 $ の一般化ローレンツ系形式に変換することで、リャプノフ次元の不変性を保つ。
• 行列の固有値解析を用いて $ \frac{1}{2}(S J S^{-1} + (S J S^{-1})^*) $ の条件を導出する。
• 定理4を適用して、固有値およびスカラー関数 $ \vartheta $ に関する条件を用いて、リャプノフ次元の境界が成り立つ2次元パラメータ領域を導出する。
• 不等式を修正し、$ \gamma^{(II)} $ の数値的根の探索を用いて、$ d=0 $ および負のパラメータを含む場合に結果を拡張する。
• 数値的シミュレーションによる結果の妥当性を検証し、古典的チェンおよびルー系のパラメータ点を導出された領域と比較する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 チェンおよびルー系のリャプノフ次元に関する解析的推定値は、その古典的パラメータに対して成り立つか？
• RQ2 レオンフュイの手法によるリャプノフ次元の境界が有効となる正しいパラメータ領域は何か？
• RQ3 なぜ数値的シミュレーションは導出されたパラメータ領域内で混沌とした吸引子を発見できないのか？
• RQ4 解析的手法は $ d=0 $ および負のシステムパラメータを含む場合に拡張可能か？

主な発見

• チェン系（35, 3, 28）およびルー系（36, 3, 20）の古典的パラメータは、リャプノフ次元の境界が有効となるパラメータ領域に含まれない。
• リャプノフ次元推定値の見直し領域は古典的パラメータを含まず、[4]における以前の主張は無効である。
• $ d=0 $ の場合、特定の $ a, b, c $ に関する条件下で、新たな解析的境界 $ \dim_L K = 3 - \frac{2(a+b)}{a + \sqrt{a^2 + 4ac}} $ が導出される。
• パラメータ集合 $ a=1, b=0.8, c=9.2 $ は定理5の条件を満たすが定理1の条件を満たさないため、新しい結果の適用範囲が広いことが示された。
• 古典的チェンおよびルー系パラメータを用いた数値的シミュレーションでは、導出された領域内で混沌とした吸引子が得られず、解析的結果を支持する。
• 古典的ローレンツ吸引子のリャプノフ次元は解析的に既知であるが、チェンおよびルー系については同様に未解決の問題のままである。