[論文レビュー] Invariance of Lyapunov characteristic exponents, Lyapunov exponents, and Lyapunov dimension for regular and non-regular linearizations

Н. В. Кузнецов, Tatyana A. Alexeeva+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 8, 2014

Chaos control and synchronization参考文献 44被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、非正則な線形化に対しても、位相空間上の微分同相写像および時間再パrametrization（時間の向きを保存するもの）の下で、リャプノフ特性指数およびリャプノフ次元が不変であることを確立する。非正則な場合のリャプノフ次元の定義を一般化し、その不変性を証明することで、正則性の仮定を越えて力学系を分析する強固な枠組みを提供する。

ABSTRACT

In the paper the question of invariance of Lyapunov exponents for regular and non-regular linearizations under the change of coordinates and time reparametrization is considered. The relation between Lyapunov exponents and Lyapunov characteristic exponents is discussed. Definition of Lyapunov dimension is generalized for non-regular linearization. The invariance of Lyapunov dimension and under time rescaling, which preserves direction, and under diffeomorphism of the phase space is demonstrated.

研究の動機と目的

• 正則および非正則な線形化の両方において、座標変換および時間再パラメータ化の下でのリャプノフ特性指数の不変性を調査すること。
• 力学系の文脈において、リャプノフ指数とリャプノフ特性指数の関係を明確にすること。
• リャプノフ次元の定義を非正則な線形化にまで拡張し、標準的な正則な場合に限らない適用可能性を確保すること。
• 位相空間上の微分同相写像および時間スケーリング（時間の向きを保存するもの）の下で、リャプノフ次元の不変性を示すこと。

提案手法

• 位相空間における微分同相写像による座標変換の下でのリャプノフ特性指数の挙動を分析すること。
• 時間再パラメータ化がリャプノフ指数に与える影響を、特に時間の向きが保存される場合に研究すること。
• リャプノフ特性指数の概念を用いて、非正則な線形化を扱えるように、標準的なリャプノフ次元の定義を一般化すること。
• 微分同相写像および時間スケーリングの下での変換解析を通じて、リャプノフ次元の不変性を確立すること。
• 線形化された系の理論的解析を用いて、滑らかな変数変換および時間の変更の下での不変性の性質を導出すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 リャプノフ特性指数は、位相空間上の微分同相写像の下で不変であるか？
• RQ2 非正則な線形化において、リャプノフ指数とリャプノフ特性指数の関係はいかなるものか？
• RQ3 リャプノフ次元の定義を非正則な線形化にまで拡張することは可能か？
• RQ4 時間の向きを保存する時間スケーリングの下で、リャプノフ次元は不変であるか？
• RQ5 滑らかな座標変換の下でも、リャプノフ次元の不変性は成立するか？

主な発見

• リャプノフ特性指数は、位相空間上の微分同相写像および時間の向きを保存する再パラメータ化の下で不変である。
• リャプノフ指数とリャプノフ特性指数の関係が、特に非正則な状況において明確に形式的に整理された。
• リャプノフ次元の定義が非正則な線形化にまで成功して一般化され、その適用範囲が広がった。
• リャプノフ次元は、位相空間上の微分同相写像および時間の向きを保存するスケーリングの下で不変である。
• 理論的枠組みにより、正則性の仮定を越えて、異なる座標表現および時間表現においても一貫した力学的不変量が保証される。