[論文レビュー] Eta Invariants for Even Dimensional Manifolds

Xianzhe Dai|arXiv (Cornell University)|Oct 13, 2011

Advanced Operator Algebra Research参考文献 17被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、奇次元多様体におけるAtiyah-Patodi-Singerのエータ不変量に類似する、偶次元多様体に対する新しいエータ不変量の内在的スペクトル的解釈を提供する。円柱 $[0,1] \times X$ 上でのアディアバティック極限技法を用いて、著者たちは、この不変量をスペクトル不変量の極限として表す公式を導出し、その不変量が多様体の幾何学およびトポロジー、および $K^1$-代表元 $g$ に依存することを確立する。主な結果は、$g$ によってねじれたディラック作用素上のトレース積分で表される $¯\eta(X,E,g)$ のスペクトル公式である。

ABSTRACT

In previous work, we introduced eta invariants for even dimensional manifolds. It plays the same role as the eta invariant of Atiyah-Patodi-Singer, which is for odd dimensional manifolds. It is associated to $K^1$ representatives on even dimensional manifolds, and is defined on a finite cylinder, rather than on the manifold itself. Thus it is an interesting question to find an intrinsic spectral interpretation of this new invariant. Using adiabatic limit technique, we give such an intrinsic interpretation.

研究の動機と目的

• 奇次元におけるAtiyah-Patodi-Singer不変量に類似する役割を果たす、偶次元多様体に対して定義された新しいタイプのエータ不変量の、切断関数に依存しない内在的スペクトル的解釈を提供すること。
• 従来の定義が切断関数に依存しており、明示的な内在性を有さないという制限を克服し、幾何学的およびスペクトル的特徴づけを提供すること。
• アディアバティック極限法を用いて、新しい不変量と円柱上でのディラック作用素のスペクトル理論との関係を確立すること。
• 境界上でのインデックスが消えるという技術的問題を解決するため、境界条件を回避する $S^1 \times X$ 上の構成を提案すること。
• 不変量が、$[0,1] \times X$ 上の自己共役ディラック作用素の「削減された」エータ不変量に等しいと予想すること。ただし、境界条件は $gP_X(L)g^{-1}$ と $¯\mathrm{Id} - P_X(L)$ である。

提案手法

• 偶次元閉多様体 $X$ 上で、切断関数と円柱 $[0,1] \times X$ 上のディラック作用素に、Atiyah-Patodi-Singer境界条件を適用することによって、新しいエータ不変量 $\overline{\eta}(X,E,g)$ を定義する。
• 境界付近で積型構造を保つように、標準的ディラック作用素と $g^{-1}dg$ を含むねじれたバージョンの間を滑らかに補間する、ディラック型作用素 $D^{\psi,g}$ の族を構成する。
• 円柱の長さが無限大に近づく極限において、作用素 $D_X + s\,c(g^{-1}dg)$ が可逆であるという仮定の下で、アディアバティック極限技法を適用し、エータ不変量の振る舞いを解析する。
• アディアバティック極限の公式を用いて、$\overline{\eta}(X,E,g)$ を、超トレースを含む二重積分で表す：$\frac{i}{4\pi}\int_0^1 \int_0^\infty \operatorname{tr}_s[c(g^{-1}dg)(D_X + s\,c(g^{-1}dg))e^{-t(D_X + s\,c(g^{-1}dg))^2}]\,dt\,ds$。
• 境界条件を排除することでインデックスの消える仮定を回避するため、$S^1 \times X$ 上での代替的構成を提案し、$\overline{\eta}(X,E,g) \equiv \overline{\eta}(D_{E_g}) \mod \mathbb{Z}$ を示す。
• 不変量が、境界条件が $\{0\} \times X$ で $gP_X(L)g^{-1}$、$\{1\} \times X$ で $\mathrm{Id} - P_X(L)$ である $[0,1] \times X$ 上の自己共役ディラック作用素の「削減された」エータ不変量に等しいと予想する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 偶次元多様体に対するエータ型不変量 $\overline{\eta}(X,E,g)$ は、切断関数に依存しないスペクトル的解釈を有するか？
• RQ2 アディアバティック極限技法は、多様体の幾何学および $K^1$-代表元 $g$ に依存する $\overline{\eta}(X,E,g)$ の内在的公式の導出をどのように可能にするか？
• RQ3 $\overline{\eta}(X,E,g)$ は、ねじれた境界条件を備えた円柱上での自己共役ディラック作用素の「削減された」エータ不変量として直接定義可能か？
• RQ4 $K^0$ と $K^1$-理論の双対性の文脈において、新しい不変量と標準的Atiyah-Patodi-Singerエータ不変量との関係は何か？
• RQ5 技術的仮定 $\mathrm{ind}\,D^E_+ = 0$ は実際には緩和可能か？もし可能であれば、$S^1 \times X$ のような閉多様体を用いて、不変量を再定義する方法は何か？

主な発見

• 本稿では、可逆性条件の下で、$[0,1] \times X$ 上のねじれたディラック作用素のエータ不変量のアディアバティック極限として、偶次元多様体上でのエータ不変量 $\overline{\eta}(X,E,g)$ のスペクトル公式を確立した。
• 内在的公式は $\overline{\eta}(X,E,g) = \frac{i}{4\pi}\int_0^1 \int_0^\infty \operatorname{tr}_s[c(g^{-1}dg)(D_X + s\,c(g^{-1}dg))e^{-t(D_X + s\,c(g^{-1}dg))^2}]\,dt\,ds$ で与えられ、幾何学的およびスペクトル的解釈が可能である。
• 可逆性仮定のもとで、スペクトルフローは消え、アディアバティック極限が適切に定義され、不変量が切断関数に依存しないことが保証される。
• 不変量 $\overline{\eta}(X,E,g)$ は、$g$ によってねじれた $S^1 \times X$ 上のディラック作用素の「削減された」エータ不変量と $\mathbb{Z}$ を法として同値であることが示され、インデックスが消える条件を回避する手段が得られた。
• 予想として、$\overline{\eta}(X,E,g)$ が、境界条件が $\{0\} \times X$ で $gP_X(L)g^{-1}$、$\{1\} \times X$ で $\mathrm{Id} - P_X(L)$ である $[0,1] \times X$ 上の自己共役ディラック作用素の「削減された」エータ不変量に等しいとされ、これは標準的なスペクトル的定義を示唆している。