[論文レビュー] Heat kernels and the index theorems on even and odd dimensional manifolds

Weiping Zhang|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、境界を持つ奇数次元多様体上のトーベィツ作用素のインデックス定理について、ヒートカーネルに基づく証明を提示している。これは、アティヤ＝パトディ＝サインヤーのインデックス定理を奇数次元へ拡張するものである。スペクトル法と境界近傍におけるヒートカーネルの漸近展開を用いて、インデックスの公式を、境界作用素の$η$-不変量、ユニタリ接続のチャーン類、およびマスロフ三重インデックスの形で確立している。

ABSTRACT

In this talk, we review the heat kernel approach to the Atiyah-Singer index theorem for Dirac operators on closed manifolds, as well as the Atiyah-Patodi-Singer index theorem for Dirac operators on manifolds with boundary. We also discuss the odd dimensional counterparts of the above results. In particular, we describe a joint result with Xianzhe Dai on an index theorem for Toeplitz operators on odd dimensional manifolds with boundary.

研究の動機と目的

• 境界付き奇数次元多様体におけるアティヤ＝パトディ＝サインヤーのインデックス定理を奇数次元へ拡張すること。
• このような多様体上でのトーベィツ作用素のインデックスを計算するためのヒートカーネル法を開発すること。
• 幾何的不変量（$η$-不変量、マスロフ三重インデックスなど）を含む局所的インデックス公式を確立すること。
• スペクトル的および幾何的技法を用いて、偶数次元インデックス理論の結果を奇数次元へ一般化すること。

提案手法

• ディラック作用素の平方のヒートカーネルのスパーシュトラスとしてインデックスを表現するため、Mckean-Singerの公式を用いる。
• 境界近傍におけるヒートカーネルの漸近展開から、局所的不変量（特に短時間展開における係数$a_0$のスパーシュトラス）を抽出する。
• 射影$P_{\partial M,\geq 0}$および$gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1}$によって定義される混合境界条件を有する境界楕円型問題を導入する。
• スペクトルゼータ正則化を用いて、境界作用素$D_{P_{\partial M,\geq 0},gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1}}$の簡約化$η$-不変量を計算する。
• カルデロン射影とマスロフ三重インデックスを用いて、境界データにおける位相的障害を補正する。
• 非可換幾何学（Connes-Moscovici）の結果および$η$-不変量の分割技法を応用し、非自明な境界寄与を扱う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 境界付き奇数次元多様体上でのトーベィツ作用素のインデックスは、どのようにスペクトル法を用いて計算可能か？
• RQ2 境界付き奇数次元多様体におけるインデックス公式において、$η$-不変量は果たす役割は何か？
• RQ3 ユニタリ接続のチャーン類とマスロフ三重インデックスは、奇数次元の場合にインデックスにどのように寄与するか？
• RQ4 ヒートカーネル法は、偶数次元から奇数次元への境界付き多様体へ拡張可能であり、局所的インデックス定理を導くことができるか？

主な発見

• トーベィツ作用素$T_g$のインデックスは、$-\int_M \widehat{A}(R^{TM}/2\pi)\,{\rm ch}(g,d) + \overline{\eta}(D_{P_{\partial M,\geq 0},gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1}}) - \tau_\mu(P_{\partial M,\geq 0},gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1},{\cal P}_M)$として与えられる。
• 簡約化$η$-不変量$\overline{\eta}(D_{P_{\partial M,\geq 0},gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1}})$は$s=0$で正則でかつ正則的であり、インデックス公式が有限かつ幾何学的であることを保証する。
• Corollary 5.3により、$\int_M \widehat{A}(R^{TM}/2\pi)\,{\rm ch}(g,d) - \overline{\eta}(D_{P_{\partial M,\geq 0},gP_{\partial M,\geq 0}g^{-1}})$は整数であることが示された。
• マスロフ三重インデックス$\tau_\mu$は、カルデロン射影とスペクトル射影$P_{\partial M,\geq 0}$の不一致を補正し、位相的補正項を提供する。
• ヒートカーネル法は、スペクトル射影と正則化を用いることで、非自明な境界幾何の困難を克服し、境界を適切に扱えた。
• 結果として、ドーキンス＝ヴォイチェフスキの定理が奇数次元へ一般化され、幾何的および位相的不変量を含む局所的インデックス公式が得られた。