[論文レビュー] Euclidean Reconstruction in Quantum Field Theory: Between tempered distributions and Fourier Hyperfunctions

Andreas Schmidt|ArXiv.org|Nov 2, 1998

Quantum Mechanics and Applications参考文献 26被引用数 3

ひとこと要約

本稿は、素朴な分布とフーリエ超関数を用いたユークリッド量子場理論からウィグマン関数を再構成する際の数学的困難を調査する。オスターワルダー＝シュライダー再構成定理を、これらの極端な状況の間の中間的状況に拡張することで、量子場理論における分布論的および超関数論的技法を用いた再構成定理の分類フレームワークを提示する。

ABSTRACT

I want to point out the mathematical difficulties that arise in the study of the relation of Wightman and Euclidean quantum field theory, i.e., the relation between the hierarchies of Wightman and Schwinger functions. The two extreme cases where the reconstructed Wightman functions are either tempered distributions - the well-known Osterwalder-Schrader reconstruction - or modified Fourier hyperfunctions are discussed in some detail. Finally, some perpectives towards a classification of Euclidean reconstruction theorems are outlined and preliminary steps in that direction are presented.

研究の動機と目的

• ウィグマン理論とユークリッド量子場理論の相関関数の間の数学的困難を解消すること。
• 再構成の2つの極端な状況を分析すること：ウィグマン関数が素朴な分布（オスターワルダー＝シュライダー）である場合、または修正されたフーリエ超関数である場合。
• 標準的な状況を超えたユークリッド再構成定理の分類計画を開発すること。
• 素朴な分布とフーリエ超関数の間の間隔的関数クラスが、両者の間のギャップを埋める可能性を調査すること。
• 再構成定理の背後にある関数解析的構造に対する体系的かつ包括的な理解への初期ステップを提供すること。

提案手法

• シュヴィンガー関数およびウィグマン関数の解析的構造を分析するために、素朴な分布とフーリエ超関数の枠組みを用いる。
• 素朴な分布の場合の基準として、オスターワルダー＝シュライダー再構成定理を適用する。
• 再構成の一般化として、標準的な超関数枠組みの拡張としての修正されたフーリエ超関数を検討する。
• 分布論およびフーリエ変換技法を用いて、ユークリッド相関関数の境界挙動を研究する。
• 相関関数の成長性および解析的性質に基づいて、再構成定理の概念的分類を導入する。
• 形式的発表および関数クラスの図示のため、AMSTeX および PICTeX を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 素朴な分布のケースを超えて、ユークリッド相関関数からウィグマン関数を再構成する際の数学的障害は何か？
• RQ2 フーリエ超関数は、量子場理論における標準的なオスターワルダー＝シュライダー再構成をどのように一般化するか？
• RQ3 ユークリッド量子場理論の文脈において、素朴な分布とフーリエ超関数の間の間隔的関数クラスは何か？
• RQ4 相関関数の成長性および解析的性質に基づいて、再構成定理の体系的分類を構築できるか？
• RQ5 解析関数の境界値は、ユークリッド理論とウィグマン理論を結ぶ役割を果たすか？

主な発見

• 本稿は、オスターワルダー＝シュライダー再構成定理が、ウィグマン関数が素朴な分布である場合に対応することを確立した。
• 著者らは、標準的な超関数枠組みを一般化する別個の分布クラスとして、修正されたフーリエ超関数を特定した。
• 素朴な分布とフーリエ超関数の間の間隔的クラスが存在することを示し、再構成定理により豊かな構造が存在することを示唆した。
• 相関関数の成長性および解析的性質に基づいた、ユークリッド再構成定理の分類プログラムを提唱した。
• 分布および超関数論を用いて、標準的状況を超えた再構成定理の拡張のための概念的かつ技術的基盤を提供した。
• 結果はセミナー講演の文脈で提示されており、AMSTeX および PICTeX を用いた形式的数学的構造によって裏付けられている。