[論文レビュー] Euler class group of a Noetherian ring

Manoj K. Keshari|arXiv (Cornell University)|Aug 12, 2014

Commutative Algebra and Its ApplicationsMathematics参考文献 7被引用数 22

ひとこと要約

本稿は、次元 $n \geq 2$ で $\mathbb{Q}$ を含むネーター環 $A$ に対して、オイラー類群 $E(A)$ を導入し、そのコhomological不変量が、行列式が自明なランク $n$ の射影 $A$-加群がユニモジュラー元をもつかどうかを特定することを可能にする。主な結果は、このような加群がユニモジュラー元をもつための必要十分条件が、$E(A)$ 内でのそのオイラー類が消えることであると示しており、これは滑らかなアフィン代数上で先行して得られた結果を一般化し、ノリが提起した問題を解決する。

ABSTRACT

We will study the Euler class group of a commutative Noetherian ring $A$ of dimension $d$, developed by S.M. Bhatwadekar and Raja Sridharan. This is my M.Phil thesis from 2001.

研究の動機と目的

• 次元が $n$ であるネーター環に対して、ランクが $n$ の射影加群がユニモジュラー元をもつかどうかを特定する不変量を定義すること。
• 滑らかなアフィン代数上でノリが構築したオイラー類群の構成を、$\mathbb{Q}$ を含む任意のネーター環へ一般化すること。
• ランク $n$ で行列式が自明な射影加群に対して、$E(A)$ 内でのオイラー類の消えることが、ユニモジュラー元の存在を特徴づけることを証明すること。
• 弱オイラー類群 $E_0(A)$ を定義し、それを安定自由性および $K_0$-類と関連付けること。

提案手法

• ランク $n$ のイデアル $J \subset A$ で、高さが $n$ で $J/J^2$ が $n$ 個の元で生成されるものと、その生成セット $w_J$ のペア $(J, w_J)$ の自由アーベル群を商として $E(A)$ を定義する。
• 局所的およびグローバルな貼り合わせ技術を用いて、$E(A)$ 内での加法および減法の法則を確立する。
• ランク $n$ の射影 $A$-加群 $P$ とその trivialization $\chi: A \to \wedge^n P^*$ に対して、オイラー類 $e(P, \chi) \in E(A)$ を構成する。
• $P$ がユニモジュラー元をもつことと、$e(P, \chi) = 0$ が $E(A)$ 内で成り立つことの必要十分条件であることを、全射の存在と安定自由近似を用いて証明する。
• 弱オイラー類群 $E_0(A)$ を $E(A)$ の商として定義し、そのオイラー類の消えることが $K_0$-同値性 $[P] = [Q \oplus A]$ と関連することを示す。
• 自然な準同型 $E(A) \to E_0(A)$ と高さ $n$ のイデアルの性質を用いて、$K_0$-理論的帰結を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 次元 $n$ のネーター環 $A$ に対して、行列式が自明なランク $n$ の射影 $A$-加群がユニモジュラー元をもつかどうかを特定する不変量を定義できるか？
• RQ2 $\mathbb{Q}$ を含むネーター環に対して定義されたオイラー類群 $E(A)$ が、その群がゼロであることと、このような加群が安定自由またはユニモジュラー元をもつことの必要十分条件であるか？
• RQ3 弱オイラー類群 $E_0(A)$ は $A$ の $K_0$-群とどのように関係するか。特に $[P] = [Q \oplus A]$ の文脈において。
• RQ4 高さ $n$ のイデアル $J$ が、ランク $n$ の安定自由加群の上への全射の像であるための条件は何か？
• RQ5 オイラー類 $e(P, \chi)$ が trivialization $\chi$ の選び方に依存しないか？

主な発見

• 行列式が自明なランク $n$ の射影 $A$-加群 $P$ のオイラー類 $e(P, \chi)$ が $E(A)$ 内で消えることと、$P$ がユニモジュラー元をもつことは同値である。
• 次元 $n$ が偶数であるネーター環 $A$ に対して、弱オイラー類 $e(P)$ が $E_0(A)$ 内で消えることと、あるランク $n-1$ の射影 $A$-加群 $Q$ に対して $[P] = [Q \oplus A]$ が $K_0(A)$ 内で成り立つことは同値である。
• $E(A) \to E_0(A)$ の核に属する $(J, w_J) \in E(A)$ に対しては、$(J, w_J)$ がランク $n$ の安定自由 $A$-加群のオイラー類であることが示され、$J$ がそのような加群の上への全射の像であることが従う。
• 高さ $n$ のイデアル $J$ で $J/J^2$ が $n$ 個の元で生成されるものに対して、全射 $P \to J$ が存在するとき、$J$ が安定自由加群の上への全射の像であるための必要十分条件は、$E_0(A)$ 内で $e(P) = 0$ であることである。
• $E(A)$ および $E_0(A)$ の構成は、次元 $n \geq 2$ で $\mathbb{Q}$ を含むネーター環に対して有効であり、滑らかなアフィン代数上で得られた先行結果を一般化する。
• $E(A)$ は、代数的に閉じていない体上でトポロジカルなチャーン類が機能しない場合でも、ランクが次元に等しい射影加群におけるユニモジュラー元の存在の障害を検出できる。