[論文レビュー] Euler class groups and motivic stable cohomotopy

Aravind Asok, Jean Fasel+1 more|arXiv (Cornell University)|Jan 21, 2016

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 40被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、A¹ホモトピー理論における代数的オイラー類群とモチビックコホモトピー群の深い関係を確立し、底体および次元に関する適切な条件下で、滑らかなアフィンk-代数的多様体上のcodimension $d$ サイクルのオイラー類群が、モチビックコホモトピー群との共通の同型により、そのcodimension $d$ チョウ–ウット群と同型であることを示している。これは、ゼロサイクルチョウ群の構造に関する長年の問いを解決し、代数的、コホモロジカル、ホモトピー的の3つのオイラー類のアプローチを統一する。

ABSTRACT

We study maps from a smooth scheme to a motivic sphere in the Morel-Voevodsky ${\mathbb A}^1$-homotopy category, i.e., motivic cohomotopy sets. Following Borsuk, we show that, in the presence of suitable hypotheses on the dimension of the source, motivic cohomotopy sets can be equipped with functorial abelian group structures. We then explore links between motivic cohomotopy groups, Euler class groups à la Nori-Bhatwadekar-Sridharan and Chow-Witt groups. We show that, again under suitable hypotheses on the base field $k$, if $X$ is a smooth affine $k$-variety of dimension $d$, then the Euler class group of codimension $d$ cycles coincides with the codimension $d$ Chow-Witt group; the identification proceeds by comparing both groups with a suitable motivic cohomotopy group. As a byproduct, we describe the Chow group of zero cycles on a smooth affine $k$-scheme as the quotient of the free abelian group on zero cycles by the subgroup generated by reduced complete intersection ideals; this answers a question of S. Bhatwadekar and R. Sridharan.

研究の動機と目的

• 代数的幾何におけるオイラー類の3つのアプローチ（代数的（Bhatwadekar–Sridharan）、コホモロジカル（Barge–Morel）、ホモトピー的（Morel））を統一すること。
• モチビックコホモトピー群がオイラー類群とチョウ–ウット群を解釈する共通の枠組みを提供すること。
• BargeとMorelの予想を、モチビックコホモトピーを用いたオイラー類の同定によって解決すること。
• BhatwadekarとSridharanの問いに答え、滑らかなアフィンスキーム上のゼロサイクルのチョウ群を、削減済み完全交差イデアルによる商として記述すること。

提案手法

• モチビック球への写像の集合として定義されるモチビックコホモトピー集合を、Morel–VoevodskyのA¹ホモトピー圏を用いて定義する。
• 次元制約の下でボルスキーの定理を適用し、モチビックコホモトピー集合にアーベル群構造を導入する。
• イデアルと全射を介して、単位行列を除いたユニモジュラー行の集合からオイラー類群への比較写像を構成する。
• 適切な仮定の下で、オイラー類群 $\mathrm{E}^d(R)$、モチビックコホモトピー群 $\pi^{\mathrm{A}^1}_{-d}(X)$、チョウ–ウット群 $\widetilde{CH}^d(X)$ の間に自然な同型を確立する。
• ホモトピー不変性および素性変換を用いて、ユニモジュラー行からオイラー類群への写像が適切に定義され、群構造を保存することを示す。
• セグレ類ホモーモルフィズムおよびイデアル論的構成を用いて、オイラー類とチョウ–ウットサイクルの関係を確立する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 A¹ホモトピー理論において、オイラー類群はどのようにモチビックコホモトピー群として解釈できるか？
• RQ2 滑らかなアフィンk-多様体 $X$ に対して、オイラー類群 $\mathrm{E}^d(X)$ とチョウ–ウット群 $\widetilde{CH}^d(X)$ が一致する条件は何か？
• RQ3 モチビックコホモトピー群 $\pi^{\mathrm{A}^1}_{-d}(X)$ は、代数的、コホモロジカル、ホモトピー的オイラー類の3つを統一する枠組みとして機能できるか？
• RQ4 滑らかなアフィンk-スキーム上のゼロサイクルのチョウ群の構造は何か？また、完全交差イデアルとどのように関係しているか？
• RQ5 ユニモジュラー行を単位行列で割った群からオイラー類群への写像は、群準同型か？

主な発見

• 底体 $k$ が無限体で、$X$ が $k$ 上滑らかであるとき、次元 $d$ の滑らかなアフィン $k$-多様体 $X$ 上の codimension $d$ サイクルのオイラー類群 $\mathrm{E}^d(X)$ は、codimension $d$ チョウ–ウット群 $\widetilde{CH}^d(X)$ と同型である。
• 同型は、モチビックコホモトピー群 $\pi^{\mathrm{A}^1}_{-d}(X)$ との共通の同型により実現され、障害理論とモチビックホモトピー理論の間の橋渡しを果たす。
• 滑らかなアフィン $k$-スキーム上のゼロサイクルのチョウ群は、削減済み完全交差イデアルによって生成される部分群による商として、自由アーベル群に同型である。
• 仮定が満たされる下で、ユニモジュラー行 $\mathrm{Um}_{d+1}(R)/E_{d+1}(R)$ からオイラー類群 $\mathrm{E}^d(R)$ への写像 $\phi$ は適切に定義された群準同型である。
• モチビックコホモトピー集合上の群構造は函手的であり、A¹ホモトピー圏の構造から生じ、古典的なボルスキー型結果を一般化する。
• Bhatwadekar–Sridharanのオイラー類群とBarge–Morelのチョウ–ウット群の比較は、共通のモチビックコホモトピー群を通じて実現され、長年の予想が解決された。