[論文レビュー] Euler class of taut foliations and Dehn filling

Ying Hu|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2019

Geometric and Algebraic Topology参考文献 33被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、$Χ$-ホロロジー球面トーラス上のデーン充填の核心に直交する正則foliationのオイラー類が消えるための必要十分条件を、相対的オイラー類およびモジュラ合同条件を用いて確立する。この結果を応用して、多くの双曲的ファイバー化3次元多様体のデーン充填——特に $r\geq3$ のときのペルツェル結び目外部 $P(-2,3,2r+1)$——が、オイラー類が0である正則foliationを介して、左順序可能であるfundamental groupを有することを示す。

ABSTRACT

In this article, we study the Euler class of taut foliations on the Dehn fillings of a $\mathbb{Q}$-homology solid torus. We give a necessary and sufficient condition for the Euler class of a foliation transverse to the core of the filling solid torus to vanish. We apply this condition to taut foliations on Dehn fillings of hyperbolic fibered manifolds and obtain many new left-orderable Dehn filling slopes on these manifolds. For instance, we show that when $X$ is the exterior of a pretzel knot $P(-2,3,2r+1)$, $r\geq 3$, $π_1(X(α_n))$ is left-orderable for a sequence of positive slopes $α_n$ with $α_0 =2g-2$ and $α_n o 2g-1$. Lastly, we prove that given any $\mathbb{Q}$-homology solid torus, the set of slopes for which the corresponding Dehn fillings admit a taut foliation transverse to the core with zero Euler class is nowhere dense in $\mathbb{R}\cup \{\frac{1}{0}\}$.

研究の動機と目的

• $Χ$-ホロロジー球面トーラス上のデーン充填の核心に直交する正則foliationのオイラー類が消える条件を特定すること。
• この基準を用いて、双曲的ファイバー化3次元多様体における左順序可能充填の新しい例を構成すること。
• オイラー類が0である正則foliationを有する斜めの集合が、有理数斜面球面上でどこにも稠密でないことを示すこと。
• 特定のペルツェル結び目の場合に、$2g-1$ に近づく正の斜面の族に対して左順序可能性の結果を拡張すること。

提案手法

• 境界 $\partial X$ 沿いの外向きセクション $\sigma$ に関連する相対的オイラー類 $e_{\sigma}(\mathcal{F})$ を用いる。
• 定理1.4を適用：$X(p/q)$ 上の拡張foliation $\widehat{\mathcal{F}}$ のオイラー類が0であるのは、$aq \equiv 1 \pmod{p}$ であるときであり、ここで $a = e_{\sigma}(\mathcal{F})([F])$ である。
• オイラー類が0であるようなこのようなfoliationが存在する斜面の集合 $\mathcal{S}_{X,\mu}$ の構造を分析する。
• それが $\mathbb{R} \cup \{1/0\}$ の中でどこにも稠密でないことを示すために、それが可算個の nowhere dense 集合の和集合であることを証明する。
• ファイバー化多様体、特に結び目外部を用いて基準を適用する。これには、サーストンノルムおよびファイバー面の genus $g$ を用いる。
• 整数斜面に対する簡略化された条件を確立：$m > 0$ のとき $e_{\sigma}(\mathcal{F})([F]) = \pm1$ であり、符号は斜面の符号に依存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 デーン充填の核心に直交する正則foliationのオイラー類が消える条件は何か？
• RQ2 双曲的ファイバー化3次元多様体のどのデーン充填斜面が、オイラー類が0である正則foliationを有するか？
• RQ3 オイラー類が0である正則foliationを有する斜面の集合は、すべての斜面の空間の中でどれほど稠密か？
• RQ4 斜面の列が $2g-1$ に近づく場合に、オイラー類が0である正則foliationを介してfundamental groupの左順序可能性を確立できるか？
• RQ5 相対的オイラー類およびモジュラ合同条件は、オイラー類の消滅を決定づける役割を果たすか？

主な発見

• デーン充填の核心に直交する正則foliationのオイラー類が0であるのは、$aq \equiv 1 \pmod{p}$ であるときであり、ここで $a = e_{\sigma}(\mathcal{F})([F])$ である。
• $r \geq 3$ のときのペルツェル結び目 $P(-2,3,2r+1)$ に対して、$\alpha_0 = 2g - 2$ かつ $\alpha_n \to 2g - 1$ である正の斜面の列 $\alpha_n$ に対して、$X(\alpha_n)$ のfundamental groupは左順序可能である。
• オイラー類が0である正則foliationを有する核心に直交するデーン充填が存在する斜面の集合は、$\mathbb{R} \cup \{1/0\}$ においてどこにも稠密でない。
• 整数斜面 $m$ に対して、$e_{\sigma}(\mathcal{F})([F]) = 1$ であれば $m > 0$ のとき、$m < 0$ のときは $-1$ であればオイラー類が消える。
• この結果により、ファイバー化多様体において $2g - 1$ に近い無限個の斜面で、左順序可能性がオイラー類が0である正則foliationを介して達成可能であることが確認された。
• この構成はすべての $Χ$-ホロロジー球面トーラスに適用可能であり、このような斜面の集合は可算個の nowhere dense 集合の和集合として示され、したがって全体としても nowhere dense である。