[論文レビュー] Orderability of Homology Spheres Obtained by Dehn Filling

Xinghua Gao|arXiv (Cornell University)|Oct 26, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 34被引用数 6

ひとこと要約

本稿では、有理ホモロジー3次元球面にデーン充填を施した場合の基本群の左順序可能性を調べるための道具として、ホロノミー拡張局所を導入する。$π_1$-表現を$\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$の$π_1$-普遍被覆に分析することにより、左順序可能な基本群を持つデーン充填の傾きの区間を構成し、トレース体に実埋め込みが存在し、ロングチュードの移動数が0である場合、そのような群が順序可能であることを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we develop a method for constructing left-orders on the fundamental groups of rational homology 3-spheres. We begin by constructing the holonomy extension locus of a rational homology solid torus $M$, which encodes the information about peripherally hyperbolic $\widetilde{ ext{PSL}_2\mathbb{R}}$ representations of $π_1(M)$. Plots of the holonomy extension loci of many rational homology solid tori are shown, and the relation to left-orderability is hinted. Using holonomy extension loci, we study rational homology 3-spheres coming from Dehn filling on rational homology solid tori and construct intervals of Dehn fillings with left-orderable fundamental group.

研究の動機と目的

• デーン充填によって得られる有理ホモロジー3次元球面の基本群の左順序可能性を特定するための手法を開発すること。
• 標準的な移動数拡張局所を超えて、$π_1$-表現を$\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$の$π_1$-普遍被覆に応用することを拡張すること。
• 表現多様体の幾何学的・代数的不変量を用いて、左順序可能な基本群をもたらすデーン充填の傾きを特徴付けること。
• トレース体に実埋め込みが存在する場合に、大きな傾きの区間のデーン充填が順序可能であるための十分条件を確立すること、特にその条件を強調すること。

提案手法

• 境界 $\partial M$ における $H^1(\partial M;\mathbb{R})$ に含まれる、境界に周縁的であるか、あるいは放物型の $π_1$-表現の $π_1$-普遍被覆への像の閉包として、ホロノミー拡張局所を定義する。
• 移動数不変量を用いて、特に縦横曲線に対して群の作用が $\mathbb{R}$ 上でどのように働くかを追跡する。
• 非自明な $π_1$-表現が $π_1$-普遍被覆への $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$ に持ち上がるような、デーン充填の傾き $r$ の区間を構成し、左順序可能性を示す。
• ロングチュードの移動数が0であるという条件を適用して、全区間の傾きにおいてこのような表現が存在することを保証する。
• 特性多様体と変形理論を用いて、$n$ が大きいとき、水平線 $L_{-1/n}$ と局所的に横断的に交わることを示し、有効な表現を得る。
• トレース体に実埋め込みが存在する忠実な $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$-表現は、移動数が制御された形で普遍被覆に引き上げられることを活用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定理5.1におけるロングチュードの剛性条件は、デーン充填の左順序可能性を保証する限り、取り除けるか？
• RQ2 特性多様体の性質を用いて、順序可能なデーン充填の傾きの区間を $(-a,0)$ から $(-a,b)$ に $a,b>0$ まで拡張可能か？
• RQ3 一般に、双曲的 Knot 外部のトレース体は、$\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$ の $π_1$-普遍被覆への非自明な $π_1$-表現を許容する実埋め込みを持つとは限らないが、どのような条件下でそうなるか？
• RQ4 双曲的多様体におけるホモロジー的ロングチュードの移動数を計算するアルゴリズムは存在するか？また、定理6.1における genus 条件を弱めることができるか？

主な発見

• 有理ホモロジー・ソリッド・トーラスのホロノミー拡張局所は、局所的に有限個の解析的弧と孤立点の和集合であり、無限大ダイヘドラ群の作用に関して不変である。
• 双曲的 $π_1$-ホモロジー・ソリッド・トーラス $M$ に対して、$0$-充填 $M(0)$ が genus $\geq 2$ の写像トーラスであり、ロングチュードの移動数が0であるならば、十分大きな $n$ に対して $M(1/n)$ は順序可能である。
• ホロノミー表現のトレース体に実埋め込みが存在し、ロングチュードの移動数が0である場合、$|n|$ が十分大きいすべての $n$ に対して、デーン充填 $M(1/n)$ は順序可能である。
• この構成により、$n$ が大きいとき、ミリディアン $\mu$ がロングチュードの移動数の $-n$ 倍の移動数を持つ要素に写されることが保証され、$\mu\lambda^n$ で自明なホロノミーを持つ普遍被覆への持ち上げが可能になる。
• $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$ の $π_1$-普遍被覆への非自明な $π_1$-表現が、$0$ のまわりの全区間のデーン充填に対して得られる。これは左順序可能性を示唆する。
• 忠実な $\mathrm{PSL}_2\mathbb{R}$-表現を持つ genus $\geq 2$ の写像トーラスは、トーラスのファイバー面上で離散的表現に制限されないことが示された。これは、基本群が torsion-free であり、モノドロミーが有限位数であるためである。