[論文レビュー] Evaluations of Euler type sums of weight $\leq$ 5

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2017

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ひとこと要約

この論文は、合計重み ≤ 5 の場合に、$ S_{p_1 p_2 \cdots p_m, p}(x) = \sum_{n=1}^\infty \frac{H_n^{(p_1)} H_n^{(p_2)} \cdots H_n^{(p_m)}}{n^p} x^n $ のオイラー型和を $ x = \frac{1}{2} $ で評価する。線形関係と既知の特殊関数を用いて、すべてのこのような和がリーマンゼータ関数値、ポリログ関数、および $ \log(2) $ の有理数係数線形結合として表現可能であることを証明し、重み5のケースについては明示的な閉形式を、重み6の和については恒等式を提供する。

ABSTRACT

Let $p,p_1,\ldots,p_m$ be positive integers with $p_1\leq p_2\leq\cdots\leq p_m$ and $x\in [-1,1)$, define the so-called Euler type sums ${S_{{p_1}{p_2} \cdots {p_m},p}}\left( x ight)$, which are the infinite sums whose general term is a product of harmonic numbers of index $n$, a power of $n^{-1}$ and variable $x^n$, by \[S_{p_1 p_2 \cdots p_m, p}(x) := \sum_{n = 1}^\infty \frac{H_n^{(p_1)} H_n^{(p_2)} \cdots H_n^{(p_m)}} {n^p} x^n \quad (m\in \mathbb{N} := \{1,2,3,\ldots\}), \] where $H_n^{(p)}$ is defined by the generalized harmonic number. Extending earlier work about classical Euler sums, we prove that whenever $p+p_1+\cdots+p_m \leq 5$, then all sums ${S_{{p_1}{p_2} \cdots {p_m},p}}\left( 1/2 ight)$ can be expressed as a rational linear combination of products of zeta values, polylogarithms and $\log(2)$. The proof involves finding and solving linear equations which relate the different types of sums to each other.

研究の動機と目的

• 一般化されたオイラー和が重み ≤5 で $ x = \frac{1}{2} $ にあり、基本定数の線形結合として表現可能かどうかを特定すること。
• 古典的なオイラー和評価を、一般化された調和数と $ x^n $ を含む重み付き和へ拡張すること。
• これらの和を、ゼータ関数値、ポリログ関数、および $ \log(2) $ の有理数係数線形結合として表現する体系的な手法を確立すること。
• 合計重み $ \leq 5 $ のすべての $ S_{p_1 p_2 \cdots p_m, p}\left(\frac{1}{2}\right) $ に対して明示的な閉形式を導出すること。
• 同じ手法を用いて、より高い重み（重み6）の和の間の恒等式を調査すること。

提案手法

• 異なる種類のオイラー型和の間の線形方程式系を構築し、それを解くことで手法を構築する。
• 対数関数とポリログ関数を含む既知の積分表現と母関数を用いて恒等式を導出する。
• 多重調和和と多重ゼータ値（MZV）の間の関係、特に交代型を含む関係を活用する。
• 恒等式 $ \sum_{n=1}^\infty H_n^{(p)} \frac{x^n}{n^q} = \sum_{k=1}^\infty \frac{1}{k^p} \sum_{n=1}^\infty \frac{x^n}{n^q (n+k)} $ を用いて関係を導出する。
• 既知の恒等式 $ S_{2n-1,1}(z) = \mathrm{Li}_{2n}(z) + \frac{1}{2} \sum_{k=1}^{2n-1} (-1)^{k+1} \mathrm{Li}_k(z) \mathrm{Li}_{2n-k}(z) $ を用いて、$ S_{5,1}(1/2) $ の閉形式を導出する。
• 重み6の和の評価は、同じ重みの和の間の線形関係を導出し、それを解くことで行われ、例えば $ \mathrm{Li}_3^2(1/2) = 2S_{3,3}(1/2) + \cdots - 20\mathrm{Li}_6(1/2) $ のような関係を含む。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み ≤5 における $ x = \frac{1}{2} $ のすべてのオイラー型和が、ゼータ関数値、ポリログ関数、および $ \log(2) $ の有理数係数線形結合として表現可能かどうか。
• RQ2 特に $ x = \frac{1}{2} $ における同じ重みのオイラー型和の間にはどのような線形関係が存在するか。
• RQ3 より高い重みの和（例：重み6）は、低い重みの和および特殊関数とどのように関係づけられるか。
• RQ4 $ S_{5,1}(1/2) $ の閉形式はどのようなものか。
• RQ5 一般化された調和数と $ x^n $ の積を含む和を $ x = \frac{1}{2} $ で評価する体系的な手法は存在するか。

主な発見

• 重み ≤5 における $ x = \frac{1}{2} $ のすべてのオイラー型和は、ゼータ関数値、ポリログ関数、および $ \log(2) $ の積の有理数係数線形結合として表現可能である。
• $ S_{5,1}\left(\frac{1}{2}\right) $ は、$ \mathrm{Li}_6(1/2) $、$ \mathrm{Li}_5(1/2)\log(2) $、$ \mathrm{Li}_4(1/2)\zeta(2) $、$ \mathrm{Li}_4(1/2)\log^2(2) $、$ \zeta^2(3) $、および $ \log(2) $ の累乗を含む閉形式を持つ。
• 恒等式 $ \mathrm{Li}_3^2(1/2) = 2S_{3,3}(1/2) + 6S_{2,4}(1/2) + 12S_{1,5}(1/2) - 20\mathrm{Li}_6(1/2) $ が成り立ち、$ S_{3,3}(1/2) $ の評価を可能にする。
• $ \zeta(4,1,1;1/2) $ は、$ S_{1^2,4}(1/2) $、$ S_{2,4}(1/2) $、$ S_{1,5}(1/2) $、および $ \mathrm{Li}_6(1/2) $ の組み合わせとして表現され、$ \zeta(6) $、$ \zeta^2(3) $、$ \mathrm{Li}_5(1/2)\log(2) $、および $ \log(2) $ の累乗の有理数式として得られる。
• $ S_{5,1}(1/2) $ の評価は恒等式 (6.103)–(6.105) から導出され、$ \mathrm{Li}_6(1/2) $、$ \mathrm{Li}_5(1/2)\log(2) $、$ \zeta^2(3) $、$ \log^6(2) $ を含む10項の閉形式が得られる。
• この手法は重み6の和に対しても成功裏に恒等式を導出でき、例えば $ \mathrm{Li}_2(1/2)\mathrm{Li}_4(1/2) = S_{4,2}(1/2) + 2S_{3,3}(1/2) + 4S_{2,4}(1/2) + 8S_{1,5}(1/2) - 15\mathrm{Li}_6(1/2) $ のような関係を導出する。