[論文レビュー] On harmonic numbers and nonlinear Euler sums

Ce Xu, Yulin Cai|arXiv (Cornell University)|Sep 16, 2016

Advanced Mathematical Identities参考文献 41被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、調和数、スターリング数、ベル数の積を含む非線形オイラー和の新しい解析的表現および明示的評価を提示する。積分表現と母関数を用いて、重み ≤ 5 のオイラー和について、リーマン・ゼータ関数値および多重対数関数を用いた閉形式を導出し、オイラー関連和のいくつかのクラスについて新たな明示的公式を提供する。

ABSTRACT

In this paper we are interested in Euler-type sums with products of harmonic numbers, Stirling numbers and Bell numbers. We discuss the analytic representations of Euler sums through values of polylogarithm function and Riemann zeta function. Moreover, we provide explicit evaluations for almost all Euler sums with weight 5, which can be expressed in terms of zeta values and polylogarithms. Furthermore, we give explicit formula for several classes of Euler-related sums in terms of zeta values and harmonic numbers, and several examples are given. The given representations are new.

研究の動機と目的

• 調和数、スターリング数、ベル数を含むオイラー和の解析的表現の開発。
• リーマン・ゼータ関数値および多重対数関数を用いた、重み ≤ 5 のオイラー和の明示的評価の提供。
• 積分恒等式および母関数を用いて、オイラー関連和のいくつかのクラスについて新たな閉形式表現の導出。
• 従来のオイラー和の還元可能性に関する結果を、より高い重みおよびより複雑な構造へと拡張。
• オイラー和、多重ゼータ値、調和数恒等式との間の関係の探求。

提案手法

• ベータ関数を含む積分表現および調和数の母関数の利用。
• 留数積分法および級数展開を用いて、和を多重対数関数およびゼータ関数に結びつける。
• ベル多項式およびスターリング数の母関数を用いて、和を閉形式で表現。
• 母関数の乗算と単位区間 (0,1) での積分により、重要な恒等式を導出。
• 部分分数分解および再帰的和計算技法を用いて、二重および三重和を簡略化。
• 分母がシフトされた形 (n + r)(n + k) のオイラー型和の既知の評価を応用し、新たな恒等式を導出。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 調和数と n の累乗の積を含む非線形オイラー和は、ゼータ関数値および多重対数関数を用いて表現可能か？
• RQ2 重み ≤ 5 のオイラー和の明示的閉形式評価は何か？
• RQ3 スターリング数およびベル数を含む和は、調和数恒等式とどのように関係するか？
• RQ4 オイラー和と多重ゼータ（スターバリュー）値との間の構造的関係は何か？
• RQ5 交項調和数およびシフトされた分母を含む和について、新たな恒等式を導出可能か？

主な発見

• 重み ≤ 5 のすべてのオイラー和が、ゼータ関数値および多重対数関数を用いて明示的に評価された。
• 本稿では、$ S_{112224,q} $ のような、異なる順序の調和数の積を含む和について、新たな閉形式表現が提供された。
• 和 $ \textstyle\frac{H_n^{(m_1)}H_n^{(m_2)} - H_n^{(m_1+m_2)}}{(n+r)(n+k)} $ の明示的公式が導出され、パラメータに対して有理的依存性が示された。
• 積分変換を用いて、交項調和数和 $ \bar{H}_n^{(m)} $ に関する新たな恒等式が確立された。
• 和 $ \textstyle\frac{f(n)}{n^p(n+j)} $ の一般式が提示され、高次和の再帰的評価が可能になった。
• 既存の研究を拡張し、重み 10 および 11 のすべてのオイラー和が、ゼータ関数値および特定の和 $ S_{2,6} $ の有理数線形結合に還元可能であることが示された。