[論文レビュー] Evaluations of nonlinear Euler sums of weight ten

Ce Xu|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2017

Advanced Mathematical Identities参考文献 16被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、生成関数および積分表現を用いて、重さ10の非線形Euler和について体系的な評価を提示し、すべての2次Euler和の閉形式を導出し、多重zeta値と非線形Euler和の関係を確立する。主な貢献は、これらの和を有理数係数のzeta値、zeta値の積、および非可約和 $ S_{2,6} $ と $ S_{2,8} $ の線形結合に完全に還元することであり、Mathematicaを用いた数値的検証が行われている。

ABSTRACT

In this paper we present a new family of identities for Euler sums and integrals of polylogarithms by using the methods of generating function and integral representations of series. Then we apply it to obtain the closed forms of all quadratic Euler sums of weight equal to ten. Furthermore, we also establish some relations between multiple zeta (star) values and nonlinear Euler sums. As applications of these relations, we give new closed form representations of several cubic Euler sums through single zeta values and linear sums. Finally, with the help of numerical computations of Mathematica or Maple, we evaluate several other Euler sums of weight ten.

研究の動機と目的

• 重さ10のすべての2次Euler和の閉形式を導出すること。
• 多重zeta（スター）値と非線形Euler和の間の関係を確立すること。
• 3次Euler和を単一のzeta値および線形和の形に表現すること。
• Mathematica や Maple といった記号計算ツールを用いて恒等式を数値的に検証すること。
• 重さ10の非交代的Euler和の還元可能性に関する予想を提示し、それを裏付けること。

提案手法

• Euler和および多対数積分の恒等式を導出するために生成関数技法を用いる。
• 級数の積分表現を用いて、Euler和と多重zeta値を結びつける。
• 留数計算および線形積分法を応用して非線形和を評価する。
• 高重さの和を $ \zeta(10) $、$ \zeta^2(5) $、$ \zeta(3)\zeta(7) $、$ \zeta(2)\zeta(3)\zeta(5) $、$ \zeta^2(3)\zeta(4) $、$ \zeta(2)S_{2,6} $、および $ S_{2,8} $ の組み合わせに還元する。
• 記号計算ソフトウェア（Mathematica/Maple）を用いて、導出された恒等式を30桁の精度で数値的に検証する。
• 重さ10の非可約Euler和の構造に関する予想を提示し、検証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重さ10のすべての2次Euler和は、既知のzeta値および非可約和を用いて閉形式で表現可能か？
• RQ2 重さ10の多重zeta（スター）値と非線形Euler和の間にはどのような関係があるか？
• RQ3 重さ10の3次Euler和は、zeta値および $ S_{2,6} $、$ S_{2,8} $ の線形結合に還元可能か？
• RQ4 重さ10のすべての非交代的Euler和は、有限個の基底要素に還元可能か？
• RQ5 和 $ \zeta(\overline{2m},2) + 2m\zeta(\overline{2m+1},1) $ は非交代的二重zeta値で表現可能か？

主な発見

• 重さ10のすべての2次Euler和は、$ \zeta(10) $、$ \zeta^2(5) $、$ \zeta(3)\zeta(7) $、$ \zeta(2)\zeta(3)\zeta(5) $、$ \zeta^2(3)\zeta(4) $、$ \zeta(2)S_{2,6} $、および $ S_{2,8} $ の有理数係数線形結合に還元可能である。
• $ S_{125,2} $ の閉形式は、$ \frac{187}{128}\zeta(10) + \frac{111}{32}\zeta^2(5) + \frac{847}{32}\zeta(3)\zeta(7) - \frac{35}{2}\zeta(2)\zeta(3)\zeta(5) - \frac{7}{4}\zeta^2(3)\zeta(4) + \frac{25}{4}\zeta(2)S_{2,6} - \frac{387}{64}S_{2,8} $ として導出された。
• $ S_{{1^4}2,4} $ は、$ -\frac{48071}{480}\zeta(10) + \frac{569}{8}\zeta^2(5) + \frac{429}{8}\zeta(3)\zeta(7) + 28\zeta(2)\zeta(3)\zeta(5) - \frac{97}{2}\zeta^2(3)\zeta(4) - 4\zeta(2)S_{2,6} - \frac{225}{16}S_{2,8} $ として評価された。
• $ S_{123,4} $ は、$ -\frac{2849}{192}\zeta(10) + \frac{59}{8}\zeta^2(5) + \frac{303}{16}\zeta(3)\zeta(7) - 5\zeta(2)\zeta(3)\zeta(5) + \zeta^2(3)\zeta(4) - \frac{7}{4}\zeta(2)S_{2,6} - \frac{51}{16}S_{2,8} $ として表現された。
• 予想7.1は数値的検証により支持された：重さ10のすべての非交代的Euler和は、指定された基底要素に還元可能である。
• $ m=1,2,3 $ の場合、和 $ \zeta(\overline{2m},2) + 2m\zeta(\overline{2m+1},1) $ は非交代的二重zeta値で表現可能であり、明示的な評価が与えられた。