[論文レビュー] A note on the generalized q-Euler numbers(2)

Kyoung-Ho Park, Young‐Hee Kim+1 more|ArXiv.org|Oct 14, 2009

Advanced Mathematical Identities参考文献 16被引用数 8

ひとこと要約

本稿では、ディリクレ指標 χ に付随する一般化された q-オイラー数および多項式を導入し、生成関数を用いた従来の q-オイラー数の研究を拡張する。主な合同関係として、[2]_q に範囲全体の重み付き和を乗じたものが、2E_{n,χ,q} と dp^N を法として合同であることを示し、これらの特殊数に対する p-進合同関係性を確立する。

ABSTRACT

In this paper we study the genralized q-Euler numbers and polynomials. From our results, we derive some interesting congruences related tothe generalized q-Euler numbers.

研究の動機と目的

• ディリクレ指標 χ を組み込んだことで、q-オイラー数および多項式の理論を拡張すること。
• 生成関数を用いて、一般化された q-オイラー数 E_{n,χ,q} および多項式 E_{n,χ,q}(x) を定義すること。
• これらの一般化された数に対して p-進合同関係を確立すること、特に dp^N を法としての関係を求める。
• q→1 の極限において、一般化された q-オイラー数がフロベニウス・オイラー多項式および通常のオイラー数とどのように関係するかを明らかにすること。

提案手法

• 生成関数 F_{q,χ}(t) = [2]_q * Σ_{k=0}^∞ χ(k)(-q)^k e^{kt} を定義し、これにより E_{n,χ,q} を生成する。
• E_{n,χ,q}(x) を d^n Σ_{a=0}^{d-1} (-q)^a χ(a) E_{n,q^d}((a+x)/d) の式で表現する。
• F_{q,χ}(d,t) と F_{q,χ}(t) の間に関係する関数方程式を導出し、再帰的性質に類似した恒等式を得る。
• 恒等式 q^d F_{q,χ}(d,t) + F_{q,χ}(t) = [2]_q Σ_{k=0}^{d-1} χ(k)(-q)^k e^{kt} を用いて、主な合同関係を導出する。
• 合同関係 q^{dp^N} ≡ 1 (mod dp^N) を適用して和を簡略化し、最終的な合同関係を確立する。
• p-進 L 関数との関係 L_{E,q}(-k,χ|x) = E_{k,χ,q}(x) を用いて、一般化された数を p-進 L 関数と結びつける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 生成関数を用いて、q-オイラー数をディリクレ指標 χ を含む形にどのように一般化できるか？
• RQ2 一般化された q-オイラー数 E_{n,χ,q} とフロベニウス・オイラー多項式の関係は何か？
• RQ3 一般化された q-オイラー数は、dp^N を法としてどのような p-進合同関係を満たすか？
• RQ4 一般化された q-オイラー数は q→1 の極限でどのように振る舞い、古典的オイラー数（χ に付随するもの）とどのように関係するか？
• RQ5 E_{n,χ,q}(x) に対して、q-オイラー多項式 E_{n,q^d}(·) を用いた閉形式表現を導出できるか？

主な発見

• 一般化された q-オイラー数 E_{n,χ,q} は、E_{n,χ,q} = d^n Σ_{a=0}^{d-1} (-q)^a χ(a) E_{n,q^d}((a)/d) で与えられる。
• 一般化された q-オイラー多項式は、E_{n,χ,q}(x) = d^n Σ_{a=0}^{d-1} (-q)^a χ(a) E_{n,q^d}((a+x)/d) を満たす。
• 奇数 d および |q|<1 のとき、恒等式 q^d E_{n,χ,q}(d) + E_{n,χ,q} = [2]_q Σ_{k=0}^{d-1} χ(k)(-q)^k k^n が成り立つ。
• 奇数 p および N∈ℕ に対して、(q-1, dp)=1 のとき、和 [2]_q Σ_{a=0}^{dp^N -1} χ(a)(-q)^a a^n ≡ 2E_{n,χ,q} (mod dp^N) が成り立つ。
• p-進 L 関数 L_{E,q}(s,χ|x) は、負の整数における一般化された q-オイラー多項式を補間する：L_{E,q}(-k,χ|x) = E_{k,χ,q}(x)。
• q→1 の極限において、一般化された q-オイラー数は、χ に付随する古典的オイラー数に収束する：lim_{q→1} E_{n,χ,q} = E_{n,χ}。