[論文レビュー] Eventual nonsensitivity and tame dynamical systems

Eli Glasner, Michael Megrelishvili|arXiv (Cornell University)|May 11, 2014

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 45被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、最終的非感受性および最終的断片化を用いた、きつい力学系の新しい特徴付けを導入し、符号的系 $X \subset \{0,1\}^\mathbb{Z}$ がきついことと、任意の無限集合 $L \subseteq \mathbb{Z}$ に対して、$\pi_K(X)$ が可算となるような無限集合 $K \subseteq L$ が存在することとの同値性を確立する。主たる貢献は、コンパクト力学系上の連続関数族に対する「小ささ」の階層を構築し、それらをアスプルンド空間およびローゼンタール空間への表現可能性と結びつけることである。応用は、部分シフト、ステルミアンに類する系列、および順序を保つ系に及ぶ。

ABSTRACT

In this paper we characterize tame dynamical systems and functions in terms of eventual non-sensitivity and eventual fragmentability. As a notable application we obtain a neat characterization of tame subshifts $X \subset \{0,1\}^{\mathbb Z}$: for every infinite subset $L \subseteq {\mathbb Z}$ there exists an infinite subset $K \subseteq L$ such that $π_{K}(X)$ is a countable subset of $\{0,1\}^K$. The notion of eventual fragmentability is one of the properties we encounter which indicate some "smallness" of a family. We investigate a "smallness hierarchy" for families of continuous functions on compact dynamical systems, and link the existence of a "small" family which separates points of a dynamical system $(G,X)$ to the representability of $X$ on "good" Banach spaces. For example, for metric dynamical systems the property of admitting a separating family which is eventually fragmented is equivalent to being tame. We give some sufficient conditions for coding functions to be tame and, among other applications, show that certain multidimensional analogues of Sturmian sequences are tame. We also show that linearly ordered dynamical systems are tame and discuss examples where some universal dynamical systems associated with certain Polish groups are tame.

研究の動機と目的

• 最終的非感受性および最終的断片化の概念を用いて、きつい力学系の新しい特徴付けを構築すること。
• コンパクト力学系上の連続関数族に対する「小ささ」の階層を確立すること。
• 分離可能で最終的に断片化可能な関数族の存在を、ローゼンタール空間への表現可能性と結びつけること。
• 符号的系 $\{0,1\}^\mathbb{Z}$ 内のきつい部分シフトの組合せ的特徴付けを提供し、無限部分集合への射影が可算であることを示すこと。
• ポーランド群に関連する順序を保つ系および普遍系への理論の拡張を行い、それらのきつさを証明すること。

提案手法

• 断片化の一般化としての最終的断片化の概念を導入し、関数族における「小ささ」を捉える。
• 評価写像 $F \times X \to \mathbb{R}$ を用いて、有界な $S$-不変関数族 $F \subset C(X)$ をバナッハ空間 $V \times V^*$ 上の標準的双線形写像と関連付ける。
• 独立な集合族を用いたローゼンタールの $\ell_1$-系列の特徴付けを応用し、$\beta\mathbb{N}$ が任意のローゼンタール空間の双対空間に $w^*$-埋め込み可能でないことを証明する。
• 無限大のラマージュ型の議論とピーコンホールドの原理を用いて、非可算集合族から独立な部分族を抽出する。
• 符号的系の構造を活用し、きつさを $\mathbb{Z}$ の無限部分集合への射影の組合せ的性質に還元する。
• 包摂半群の理論および WAP/アスプルンド/ローゼンタール表現可能性を用いて、関数族の複雑さに基づく力学系の分類を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクト力学系 $X$ がローゼンタールバナッハ空間へ表現可能であるのはいつか？ そして、その分離関数族の構造とはどのように関係するか？
• RQ2 符号的系 $X \subset \{0,1\}^\mathbb{Z}$ に対して、どのような組合せ的条件がそのきつさを保証するか？
• RQ3 関数族の最終的断片化は、$\ell_1$-系列の不在およびアスプルンド空間への表現可能性とどのように関係するか？
• RQ4 線形順序力学系がきついのはどのような場合か？ そして、その包摂半群の構造とはどのように関係するか？
• RQ5 ポーランド群 $G$ の普遍的最小系 $M(G)$ あるいは普遍的アフィン系 $IA(G)$ はいつきついのか？ どのような条件下でそうなるか？

主な発見

• 符号的系 $X \subset \{0,1\}^\mathbb{Z}$ は、任意の無限集合 $L \subseteq \mathbb{Z}$ に対して、$\pi_K(X)$ が可算となるような無限集合 $K \subseteq L$ が存在するときかつそのときに限り、きつい。
• 有界な $S$-不変関数族 $F \subset C(X)$ が最終的に断片化可能であることと、関連する力学系がローゼンタール表現可能であることとは同値である。
• 分離可能で最終的に断片化可能な関数族 $F$ の存在が、きつい距離力学系を特徴付ける。
• $(H_+(\mathbb{T}), \mathbb{T})$ である向きを保つ円周のホメオモーティズムの系はきつい。その普遍的最小系 $M(H_+(\mathbb{T}))$ もきつい。
• ストーン＝チェッホのコンパクト化 $\beta\mathbb{N}$ は、任意のローゼンタールバナッハ空間の双対空間に $w^*$-埋め込み可能でない。これは、すべてのコンパクト空間がローゼンタール表現可能であるとは限らないことを示唆する。
• ステルミアン系列の多次元版が、符号関数に関する十分条件を用いてきついことが示された。