[論文レビュー] Every NAND formula of size N can be evaluated in time N^{1/2+o(1)} on a quantum computer

Andrew M. Childs, Ben W. Reichardt+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 2, 2007

Quantum Computing Algorithms and Architecture参考文献 15被引用数 23

ひとこと要約

この論文は、サイズ $N$ の任意のNAND式を、式から導出された木構造上のコイン付き量子ウォークを用いて $N^{1/2+o(1)}$ 時間で評価する量子アルゴリズムを提示する。アルゴリズムは、バランス型またはほぼバランス型の式に対して最適なクエリ複雑度 $O(\bar{N})$ を達成し、量子クエリ複雑度の二乗が式サイズを下界づけるかどうかという未解決問題をほぼ解決する。

ABSTRACT

For every NAND formula of size N, there is a bounded-error N^{1/2+o(1)}-time quantum algorithm, based on a coined quantum walk, that evaluates this formula on a black-box input. Balanced, or ``approximately balanced,'' NAND formulas can be evaluated in O(sqrt{N}) queries, which is optimal. It follows that the (2-o(1))-th power of the quantum query complexity is a lower bound on the formula size, almost solving in the positive an open problem posed by Laplante, Lee and Szegedy.

研究の動機と目的

• サイズ $N$ の任意のNAND式を、$N$ に対して部分線形時間で評価する量子アルゴリズムの開発。
• Laplante, Lee, および Szegedy が提起した未解決問題、すなわち量子クエリ複雑度の二乗が式サイズを下界づけるかどうかを解明すること。
• 平衡型二分木を超えて、構造的非対称性を有する任意のNAND式へ、量子ウォークベースの評価を一般化すること。
• 効率的な前処理と有界誤差を伴い、時間計算量を $N^{1/2+o(1)}$ に抑えること。
• 式の評価における量子クエリ複雑度が $Q_2(f)^{2-o(1)}$ 以上であることを示し、予想される下界をほぼ証明すること。

提案手法

• NAND式の木表現上でコイン付き量子ウォークを用い、頂点が論理ゲート、リーフが入力変数に対応する。
• 古典的ランダムウォークを変更し、値が1に評価されるリーフに確率吸収源を導入し、内部ノードのコインの傾きを式の非対称性に基づいて偏らせる。
• グローバー拡散演算子をコインレジスタに適用することで、ユニタリ演算子 $U$ を構築し、木構造上の位相的整合な進化を可能にする。
• 初期状態のエネルギーを推定するために位相推定を適用し、式の出力が0と1の間に区別をつける。
• Farhiらの研究におけるハミルトニアンに類似したスペクトル解析に依存し、重み付き非対称木に対して変換を施して対称木に還元する。
• 前処理段階では、ソロベイ＝キタイエフ定理を用いて近似コイン拡散演算子を計算し、アルゴリズム実行中に位相的アクセス可能な古典的記述として保存する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 サイズ $N$ の任意のNAND式を、量子コンピュータ上で $N^{1/2+o(1)}$ 時間で評価できるか？
• RQ2 Laplante, Lee, および Szegedy が予想したように、量子クエリ複雑度の二乗が式サイズのほぼタイトな下界であるか？
• RQ3 量子ウォーク手法を非対称NAND式へ一般化し、二次未満のクエリ複雑度を維持できるか？
• RQ4 バランス型またはほぼバランス型の式に対して、アルゴリズムが $O(\bar{N})$ のクエリ複雑度を達成できるか？
• RQ5 構造的入力に対して、前処理段階を $N^{1/2+o(1)}$ 時間で実行できるように最適化できるか？

主な発見

• サイズ $N$ の任意のNAND式は、誤差 $1/3$ 未満で、$N^{1/2+o(1)}$ 時間およびクエリで、量子コンピュータ上で評価可能である。
• バランス型またはほぼバランス型のNAND式に対して、$O(\bar{N})$ のクエリを達成し、これは最適であり、量子クエリ下界と一致する。
• 任意の関数 $f$ の式サイズは、$Q_2(f)^{2-o(1)}$ 以上である。これは、量子クエリ複雑度の二乗が式サイズを下界づけるかどうかという未解決問題をほぼ解決する。
• アルゴリズムは、位相推定を用いたコイン付き量子ウォークを用い、ウォークのスペクトル特性により、出力が0と1の間に一定のギャップをもって区別可能である。
• 効率的な前処理により、ゲート近似にソロベイ＝キタイエフ定理を適用したため、時間計算量はクエリ数よりも多項式対数的に大きい。
• 最も非対称な式に対しては、補題10による再バランスにより深さが $O(\log N)$ に、サイズが $O(N \log N)$ に減少し、$O(\sqrt{N})$ のクエリ評価が可能になる。