[論文レビュー] Evolution equations for special Lagrangian 3-folds in C^3

Dominic Joyce|ArXiv.org|Oct 3, 2000

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 9被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、二次写像 Φₜ: ℝ² → ℂ³ に対する非線形常微分方程式系を解くことで、ℂ³ 内の特別ラグランジュ3次元多様体の明示的族を構成する進化法を用いて、特別ラグランジュ3次元多様体の族を構築する。主な貢献は、S¹×ℝ² に微分同相な周期的解をもたらす新たな特別ラグランジュ3次元多様体族の明示的パラメトライゼーションであり、特異点と無限遠における漸近的挙動の詳細な解析が行われ、これらは無限遠で特別ラグランジュ3次元平面の分岐被覆に漸近的に近づく。

ABSTRACT

This is the third in a series of papers constructing explicit examples of special Lagrangian submanifolds in C^m. The previous paper in the series, math.DG/0008155, defined the idea of evolution data, which includes an (m-1)-submanifold P in R^n, and constructed a family of special Lagrangian m-folds N in C^m, which are swept out by the image of P under a 1-parameter family of linear or affine maps phi_t : R^n -> C^m, satisfying a first-order o.d.e. in t. In this paper we use the same idea to construct special Lagrangian 3-folds in C^3. We find a 1-1 correspondence between sets of evolution data with m=3 and homogeneous symplectic 2-manifolds P. This enables us to write down several interesting sets of evolution data, and so to construct corresponding families of special Lagrangian 3-folds in C^3. Our main results are a number of new families of special Lagrangian 3-folds in C^3, which we write very explicitly in parametric form. Generically these are nonsingular as immersed 3-submanifolds, and diffeomorphic to R^3 or S^1 x R^2. Some of the 3-folds are singular, and we describe their singularities, which we believe are of a new kind. We hope these 3-folds will be helpful in understanding singularities of compact special Lagrangian 3-folds in Calabi-Yau 3-folds. This will be important in resolving the SYZ conjecture in Mirror Symmetry.

研究の動機と目的

• 先行研究の進化法を用いて、ℂ³ 内の特別ラグランジュ3次元多様体の新しい例を構築すること。
• 非埋め込み的初期データから生じる特異点とそれらの幾何的構造を分析すること。
• 構築された3次元多様体の無限遠における漸近的挙動を研究し、その極限的幾何モデルを同定すること。
• ℂ³ の自己同型に関して、3次元多様体の族を分類し、パラメータ数を特定すること。

提案手法

• 1パラメータ族の二次写像 Φₜ: ℝ² → ℂ³ が、一階非線形常微分方程式 dΦₜ/dt = (∂Φₜ/∂y₁) × (∂Φₜ/∂y₂) を満たすことを用いる。ここで × はℂ³ 内の外積を表す。
• 全3次元多様体 N は、Φ(y₁,y₂,t) = Φₜ(y₁,y₂) で定義される Φ: ℝ³ → ℂ³ の像として得られ、適切な初期条件 Φ₀ を満たせば N は特別ラグランジュ的となる。
• ベクトル値関数 z₁,…,z₆: ℝ → ℂ³ に対する6本の常微分方程式系を解くことで、対称性を活用して解析を簡略化する。
• 第一の族では、SL(2,ℝ) ⋉ ℝ² が ℝ² に作用するデータが進化の出発点となり、ℂ³ の自己同型に関して9次元の特別ラグランジュ3次元多様体族が得られる。
• 第二の族では、K ⋉ Uₖ が T*ℝ に作用するデータが進化の出発点となり、K はℝ の向き付きアフィン変換の群、Uₖ は次数 < k の多項式1次形式の空間である。
• K ⋉ Uₖ 族のパラメータ数は、時間並進対称性を除いた後、4k−5 個の実数パラメータを持つ。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ℂ³ 内の進化法によって構築された特別ラグランジュ3次元多様体の幾何的・位相的性質は何か？
• RQ2 これらの3次元多様体の特異点はどのように生じるのか？非埋め込み的初期データの場合、その性質は何か？
• RQ3 これらの3次元多様体の無限遠における漸近的挙動は何か？特別ラグランジュ3次元平面とどのように関係するか？
• RQ4 進化族が周期的になる条件は何か？その場合、得られる3次元多様体の位相にどのような意味があるか？
• RQ5 ℂ³ の自己同型に関して、特別ラグランジュ3次元多様体の族はいくつ存在するか？そのパラメータ数は何か？

主な発見

• 本稿は、定理8.4、10.3、11.5を用いて、ℂ³ 内の特別ラグランジュ3次元多様体の3つの明示的族を構築し、パラメトライゼーションが初期データと時間発展の形で完全に表現されている。
• SL(2,ℝ) ⋉ ℝ² 族では、ℂ³ の自己同型に関して9次元の特別ラグランジュ3次元多様体族が得られる。
• 第二の族（K ⋉ Uₖ 由来）は、時間並進を除いた後、4k−5 個の実数パラメータを持つ。k≥1 である。
• k≥3 のとき周期的解が存在し、定理11.6により、S¹×ℝ² に微分同相な埋め込み的特別ラグランジュ3次元多様体の可算族が得られる。
• 無限遠では、3次元多様体は2つの特別ラグランジュ3次元平面 L₁ と L₂ の和集合に弱く漸近的に近づき、L₁ はk重の分岐被覆として、L₂ は1対1被覆として近づく。
• 漸近的収束の速度は O(r^{(k−1)/k}) であり、極限平面への到達は比較的遅い。