[論文レビュー] Exact asymptotics for the instant of crossing a curve boundary by an asymptotically stable random walk

Denis Denisov, Vitali Wachtel|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2014

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 7被引用数 4

ひとこと要約

本稿は、時間に依存する曲線境界 −g(n) を超える初到達時刻 T_g における尾確率 P(T_g > n) の正確な漸近的表現を確立する。再生関数 h とスケーリング関数 c(n) を含む新しい積分条件を導入し、従来の結果よりも弱い条件下で P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n) が成り立つことを示す。ここで V(g) は ∫ h(g(x))/(x h(c(x))) dx < ∞ が成り立つ場合に限り有限である。

ABSTRACT

Suppose that $\{S_n,\ n\geq0\}$ is an asymptotically stable random walk. Let $g$ be a positive function and $T_g$ be the first time when $S_n$ leaves $[-g(n),\infty)$. In this paper we study asymptotic behaviour of $T_g$. We provide integral tests for function $g$ that guarantee $P(T_g&gt;n)\sim V(g)P(T_0&gt;n)$ where $T_0$ is the first strict descending ladder epoch of $\{S_n\}$

研究の動機と目的

• 時間に依存する境界を越えるランダムウォークの初到達時刻に関する既存の漸近的結果を精緻化すること、特に境界が時間とともに増加する場合に焦点を当てる。
• P(T_g > n) と P(T_0 > n) の正確な漸近的同等性を示すために、以前の研究で要求されていたモーメント条件（例：E[g(T_0)] < ∞）を弱める。
• 漸近的安定なランダムウォークに対して、P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n) を保証する新しい積分テスト条件を確立すること。
• グリーンウッドとノヴィコフの結果を一般化し、g に関する凹性およびモーメント仮定を、h(g(x)) に関する部分加法性および可積分性条件に置き換える。

提案手法

• 特徴的指数 α ∈ (0,2) および歪度 β を持つ安定分布へのスケーリング極限を示す、新たな漸近的安定なランダムウォーク S_n のクラスを導入する。
• 厳密な降下ラダー高さ過程に関連する再生関数 h(x) を用いて、P(T_0 > n) ∼ n^{ρ−1}L(n) の漸近的挙動を特徴付ける。
• E[h(g(T_0))] < ∞ かつ h(g(x)) が部分加法的である場合に、P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n) が成り立つことを確立する。ここで V(g) は g に依存する有限定数である。
• P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n) を満たす十分条件として、∫₁^∞ h(g(x))/(x h(c(x))) dx < ∞ を導出する。ここで c(x) はランダムウォークのスケーリング関数である。
• 超マルティンゲール h(S_n − g(n))1{T_g > n} に停止定理を適用することで、尾の挙動を制御し、境界を導出する。
• 停止時刻 ν_n ≈ δ_n n を用いたカップリングおよびカップリング型の議論により、ランダムウォークの挙動を局所化し、局所的極限定理を適用する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 漸近的安定なランダムウォークが時間に依存する境界 −g(n) を超える初到達時刻 T_g に対して、ある有限な V(g) に対して P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n) が成り立つのはどのような条件下か？
• RQ2 以前の結果で要求されていた E[g(T_0)] < ∞ の可積分性条件を、同じ漸近的同等性を保証するより弱い条件に置き換えることは可能か？
• RQ3 h(g(x)) の部分加法性が初到達時刻分布の漸近的同等性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ4 g(n) の増加率が、特に g(n) が n^{1/α} より速く増加する場合に、P(T_g > n) の漸近的挙動にどのように影響を与えるか？
• RQ5 漸近的安定なランダムウォークに対して、P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n) を保証する正確な積分条件は何か？

主な発見

• 本稿では、E[h(g(T_0))] < ∞ かつ h(g(x)) が部分加法的である場合に、P(T_g > n) ∼ V(g)P(T_0 > n) が成り立つことが示され、V(g) ∈ (0, ∞) である。これは以前の結果を一般化する。
• ∫₁^∞ h(g(x))/(x h(c(x))) dx < ∞ は漸近的同等性を保証する十分条件であり、h が指数 −α(1−ρ) で正規変動する場合、この条件は E[g(T_0)] < ∞ よりも厳密に弱い。
• g(x) = x^γ で γ < min{1, 1/α} の場合、漸近的同等性が成り立つ。これは、部分線形境界に対する既知の結果を拡張する。
• g(x) ∼ c(x)（ランダムウォークのスケーリング関数）である場合、∫ h(g(x))/(x h(c(x))) dx < ∞ は漸近的同等性の必要十分条件である。
• g(x) が任意の x^γ（γ < 1/α）より速く増加する場合でも、積分条件を満たしていれば結果は成り立つ。
• 証明では、停止時刻 ν_n ≈ δ_n n を用いたカップリング議論と、超マルティンゲール h(S_n − g(n))1{T_g > n} への停止定理の適用により、尾確率の鋭い境界が得られる。