[論文レビュー] Exact, graded, immersed Lagrangians and Floer theory

Garrett Alston, Erkao Bao|arXiv (Cornell University)|Jul 15, 2014

Geometric and Algebraic Topology参考文献 14被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、自己交叉がクリーンである正確で重み付きの自己埋め込みラグランジュ部分多様体に対して、自己交叉点のMaslov指数に正則性条件を課えることで、Lagrangian Floer homologyの枠組みを確立する。この条件により、問題を引き起こす円板バブルの分岐が排除され、そのようなラグランジュ部分多様体が正確なFukaya圏に含められ、$A_\infty$-構造の$\mathfrak{m}_0 = 0$が保証される。理論は$\mathbb{Z}_2$上のSeidelの摂動スキームを用いており、計算可能な不変量が得られ、非ハミルトニアンな正確な変形に対しても不変性を示す。

ABSTRACT

We develop Lagrangian Floer Theory for exact, graded, immersed Lagrangians with clean self-intersection using Seidel's setup. A positivity assumption on the index of the self intersection points is imposed to rule out certain (but not all) disc bubbles. This allows the Lagrangians to be included in the exact Fukaya category. We also study quasi-isomorphism of Lagrangians under certain exact deformations which are not Hamiltonian.

研究の動機と目的

• 自己交叉がクリーンである正確で重み付きの自己埋め込みラグランジュ部分多様体を含めるように正確なFukaya圏を拡張すること。
• 自己交叉点のMaslov指数に対する正則性条件を用いて、妨害的な円板バブルを除外することで、このようなラグランジュ部分多様体に対する計算可能なFloerコホモロジー理論を確立すること。
• このようなラグランジュ部分多様体に対して、非ハミルトニアンな正確な変形のもとでFloerコホモロジーの不変性を証明すること。
• これらのラグランジュ部分多様体に対して、$\mathfrak{m}_0 = 0$を満たすwell-definedな$A_\infty$-構造を構成し、理論がカテゴリカルに良好に振る舞うようにすること。

提案手法

• 自己交叉点のMaslov指数に正則性条件を課えることで、Fredholm理論を妨げる特定の円板バブル分岐を防ぐ。
• Seidelの摂動スキームを$\mathbb{Z}_2$上で用いることで、well-definedで計算可能なFloer複体を構成する。
• 自己埋め込みラグランジュ部分多様体を境界条件とするホロモルフィックストリップおよび円板のモジュライ空間に対して、Gromovのコンパクト性および正則性理論を適用する。
• 円筒的エンド付近での解の衰減を制御するため、漸近的解析および重み付きSobolev推定を用いる。
• 摂動されたホロモルフィック曲線を用いて、複体$CF(\iota; \mathfrak{H}, \mathfrak{J})$を構成し、その不変性を almost complex 構造のホモトピーに関して証明する。
• マーク付きのホロモルフィック多角形のモジュライ空間と摂動データを用いて$A_\infty$-構造を確立し、$\mathfrak{m}_0 = 0$を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 自己交叉がクリーンである正確で重み付きの自己埋め込みラグランジュ部分多様体は、正確なFukaya圏の対象として含められるか？
• RQ2 自己交叉点のMaslov指数に対する正則性条件は、Floer理論における妨害的円板バブルを排除するのに十分か？
• RQ3 非ハミルトニアンな正確な変形のもとで、このようなラグランジュ部分多様体に対してFloerコホモロジーの不変性を確立できるか？
• RQ4 これらの対象に対して、$\mathfrak{m}_0 = 0$を満たすwell-definedな$A_\infty$-構造がFloer複体に構成可能か？
• RQ5 自己埋め込みラグランジュ部分多様体に対して、Seidelの摂動スキームを用いて、計算可能な$\mathbb{Z}_2$値のFloer理論を構成できるか？

主な発見

• 自己交叉点のMaslov指数に対する正則性条件により、バブルするホロモルフィック円板は有限個に制限され、妨害的分岐の生成を防ぐ。
• Floerコホモロジー$\mathrm{HF}(\iota)$はwell-definedであり、almost complex 構造および摂動データのホモトピーに関して不変である。
• Floer複体上の$A_\infty$-構造は$\mathfrak{m}_0 = 0$を満たし、理論が非障害的であり、カテゴリフィケーションに適していることを保証する。
• 理論は特定の非ハミルトニアンな正確な変形に対して不変であり、従来の不変性結果を一般化する。
• 摂動された$J$-ホロモルフィック曲線方程式の解に対する漸近的衰減推定から、無限遠における$C^1$-ノルムの指数的衰減が導かれる。これにより、有限エネルギーおよびコンパクト性が保証される。
• 理論は、像に全測地的計量が存在する限り、任意の自己交叉がクリーンである埋め込みに対して有効である。