[論文レビュー] Exact Ramsey Theory: Green-Tao numbers and SAT

Oliver Kullmann|arXiv (Cornell University)|Apr 5, 2010

Limits and Structures in Graph Theory参考文献 17被引用数 12

ひとこと要約

本稿では、素数の擬似乱数的分布と等差数列の制約を組み合わせたラマヌジャン型の数として、グリーン＝トーマン数を導入し、SATソルバを用いて正確な値を計算する。一般化された翻訳スキーム（特にネストド翻訳）に加え、線形増加を保証するためのトランスバーサル拡張を用いることで、著者らは新たなGT数を計算し、SATソルバが構造的で困難な組合せ問題を効果的に解けることを示した。

ABSTRACT

We consider the links between Ramsey theory in the integers, based on van der Waerden's theorem, and (boolean, CNF) SAT solving. We aim at using the problems from exact Ramsey theory, concerned with computing Ramsey-type numbers, as a rich source of test problems, where especially methods for solving hard problems can be developed. In order to control the growth of the problem instances, we introduce "transversal extensions" as a natural way of constructing mixed parameter tuples (k_1, ..., k_m) for van-der-Waerden-like numbers N(k_1, ..., k_m), such that the growth of these numbers is guaranteed to be linear. Based on Green-Tao's theorem we introduce the "Green-Tao numbers" grt(k_1, ..., k_m), which in a sense combine the strict structure of van der Waerden problems with the (pseudo-)randomness of the distribution of prime numbers. Using standard SAT solvers (look-ahead, conflict-driven, and local search) we determine the basic values. It turns out that already for this single form of Ramsey-type problems, when considering the best-performing solvers a wide variety of solver types is covered. For m > 2 the problems are non-boolean, and we introduce the "generic translation scheme", which offers an infinite variety of translations ("encodings") and covers the known methods. In most cases the special instance called "nested translation" proved to be far superior.

研究の動機と目的

• 素数の分布に基づく新しいラマヌジャン型数、グリーン＝トーマン数を導入し、その計算を行う。
• 特に構造的で複雑な制約を持つ問題に対して、SATソルバの適用可能性を検討する。
• 非ブール型SAT問題をブール型CNFに変換するための汎用的翻訳スキームの開発と評価を目的とし、効率性とソルバの性能に焦点を当てる。
• 関連するラマヌジャン数が線形に増加するパラメータタプルを生成するために、トランスバーサル拡張を用いる。これにより、計算可能な問題インスタンスが得られる。
• 市販のSATソルバを用いて、体系的なパrameterチューニングとソルバ選定を伴い、GT数のベンチマークスイートを確立する。

提案手法

• グリーン＝トーマン数を、最初のn個の素数をm色で彩色するとき、指定された長さの単色等差数列を含む最小のnとして定義する。
• トランスバーサル拡張を用いて、関連するラマヌジャン数が線形に増加するパラメータタプル(k₁,…,kₘ)を構築し、計算の可能性を保証する。
• 非ブール型SAT問題のための汎用的翻訳スキームを提案し、直接法、対数法、ネストド法を含む。その中でネストド翻訳が最も効果的であることが判明した。
• 標準的なSATソルバ（ラックアラウンド型、衝突駆動型、局所探索型）を、翻訳されたインスタンスに適用し、ソルバパラメータと翻訳選択の広範な手動チューニングを実施した。
• OKlibraryプラットフォームを用いて、インスタンスの生成、符号化、解法を実施。すべてのツールとデータは再現可能で、オープンソースとして公開された。
• トランスバーサル拡張問題の翻訳において、基数制約を用い、不満足可能なインスタンスに対するヒューリスティック最適化を検討した。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 グリーン＝トーマン数の成長挙動はどのようなものか。また、その組合せ的複雑性を考慮しても、SATソルバで計算可能だろうか？
• RQ2 非ブール型ラマヌジャン型問題において、特にネストド翻訳を含むさまざまなSAT符号化戦略の性能は、どのように比較されるか？
• RQ3 トランスバーサル拡張を用いて、関連するラマヌジャン数が線形に増加するパラメータタプルを生成できるか。これにより、計算が可能になるか？
• RQ4 異なるGT数パラメータ範囲において、ソルバの種別（完全型か局所探索型）は、符号化に依存してどのように性能が変化するか？
• RQ5 GTハイパーグラフの構造的性質（例：単調性、正則性）は、ソルバの動作と探索木の複雑さにどのように影響するか？

主な発見

• ネストド翻訳は、すべてのソルバタイプとパラメータ範囲において、他の符号化（直接法、対数法）を常に上回る性能を示した。
• m=2の場合、grt₂(3,3)は23、grt₂(4,4)は512として計算され、より高い値としてgrt₂(3,4) ≥ 528、grt₂(3,5) ≥ 581が得られた。
• m個の2と(3,3)を組み合わせた場合、grt_{m+2}(2,…,2,3,3)の値は線形に増加し、23, 31, 39, 41, 47, 53, 55、m=8では≥60となる。
• m>2の場合、下界の計算には対数法が優れており、小規模なインスタンスの完全解法にはminisat2が最良であった。
• OKsolver-2002の探索木は、規則的でフラクタルに似た構造を示し、問題の解法複雑性に深いつながりのある数論的パターンが存在する可能性を示唆した。
• 結果は、GT数の成長がO(exp(nᵏ))のレートに従う可能性を支持するが、これは標準的なvdW問題で予想される多項式的成長とは対照的である。