[論文レビュー] Exact relaxation for polynomial optimization on semi-algebraic sets

Marta Abril Bucero, Bernard Mourrain|arXiv (Cornell University)|Jul 24, 2013

Advanced Optimization Algorithms Research参考文献 25被引用数 7

ひとこと要約

本稿では、カールシュ＝クーン＝タッカー（KKT）条件を活用して、半代数的集合上のグローバル多項式最適化の正確な半定値計画（SDP）緩和を提案する。最小値が達成される場合、KKTに基づくSDP階層は有限ステップで収束し、KKTイデアルがゼロ次元でない場合でさえも、モーメント行列の核を用いて最小化点が回復可能であることを証明する。

ABSTRACT

In this paper, we study the problem of computing by relaxation hierarchies the infimum of a real polynomial function f on a closed basic semialgebraic set and the points where this infimum is reached, if they exist. We show that when the infimum is reached, a relaxation hierarchy constructed from the Karush-Kuhn-Tucker ideal is always exact and that the vanishing ideal of the KKT minimizer points is generated by the kernel of the associated moment matrix in that degree, even if this ideal is not zero-dimensional. We also show that this relaxation allows to detect when there is no KKT minimizer. We prove that the exactness of the relaxation depends only on the real points which satisfy these constraints.This exploits representations of positive polynomials as elementsof the preordering modulo the KKT ideal, which only involves polynomials in the initial set of variables. Applications to global optimization, optimization on semialgebraic sets defined by regular sets of constraints, optimization on finite semialgebraic sets, real radical computation are given.

研究の動機と目的

• 半代数的集合上のグローバル多項式最適化の有限収束SDP緩和を構築すること。
• KKTイデアルがゼロ次元でない場合、またはKKT点が存在しない場合に失敗する既存手法の限界を克服すること。
• 不実行性を検出でき、標準的なKKT条件では捉えきれないすべてのグローバル最小化点を回復できる一様なフレームワークを提供すること。
• 制約を満たす実解に基づくみずからの緩和の正確性を、KKTイデアルを法とする前順序表現を用いて証明すること。
• モーメント-SOS法の適用範囲を、非コンパクトかつ非完全交差の半代数的集合へ拡張すること。

提案手法

• 等式制約と不等式制約を統合した単一の前順序フレームワークに統合した、KKTイデアルに基づくモーメント-SOS階層を構築する。
• KKT条件を追加の多項式制約として用いて、変更された最適化問題を定義する。
• 元の制約とKKTイデアルから生成される前順序に対して、ラッセルレのSDP緩和階層を適用する。
• モーメント関数のハンケル行列における平坦拡張条件を用いて、有限収束を検出する。
• 収束度数におけるモーメント行列の核を計算することで、最小化点を回復する。
• Fritz John多様体を用いて、KKT点が存在しない場合の不実行性を検出し、KKT点が存在しない場合の誤った収束を回避する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 半代数的集合上の多項式最適化において、KKTに基づくSDP階層が有限ステップで収束する条件は何か？
• RQ2 KKTイデアルがゼロ次元でない場合でも、モーメント行列の核から最小化点を正確に回復できるか？
• RQ3 KKT点が存在しない場合、特に非コンパクトまたは特異な場合に、緩和が不実行性をどのように検出できるか？
• RQ4 KKTイデアルを法とする前順序が、緩和の正確性を保証するために果たす役割は何か？
• RQ5 同一のフレームワークで、コンパクト、有限、非コンパクトな半代数的集合におけるグローバル最適化を一様に扱えるか？

主な発見

• 最小値が達成される限り、KKTに基づくSDP階層は、KKTイデアルがゼロ次元でない場合であっても、有限ステップで正確に収束する。
• 収束度数におけるモーメント行列の核が、最小化点のイデアルを生成するため、すべての最小化点を正確に回復可能である。
• 摂動を加えたモッツキン多項式に対して、アルゴリズムは段階5で収束するが、Gloptipolyは同様の条件下で収束しない。
• 例7.6において、最小化点イデアルは非ゼロ次元であり、6本の直線を定義しており、段階5におけるモーメント行列の核が正しくそのイデアルを特定している。
• トーラスの例では、最小化点イデアル $I_{ ext{min}} = (x^2 + y^2 - 4, z + 1)$ が正確に回復され、最小化点は円をなす。
• Fritz John多様体を用いて不実行性を検出し、KKT点が存在しない場合に誤った収束を回避する。