[論文レビュー] Exact solutions to the nonlinear Schrödinger equation

Tuncay Aktosun, Theresa Busse+2 more|ArXiv.org|Aug 19, 2009

Nonlinear Photonic Systems参考文献 7被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、立方非線形性を有する焦点化非線形シュレーディンガー方程式（NLS）に対して、正確なマルチソリトン解を構築する新しい行列ベースの手法を提示する。行列の三つ組（A, B, C）と行列指数関数を活用することで、全xt平面上で有界で、解析的かつ指数的に減衰する解が得られ、指数関数、三角関数、多項式関数を用いて明示的に表現可能であり、任意の正の整数サイズpに対して適用可能である。

ABSTRACT

A review of a recent method is presented to construct certain exact solutions to the focusing nonlinear Schrödinger equation on the line with a cubic nonlinearity. With motivation by the inverse scattering transform and help from the state-space method, an explicit formula is obtained to express such exact solutions in a compact form in terms of a matrix triplet and by using matrix exponentials. Such solutions consist of multisolitons with any multiplicities, are analytic on the entire $xt$-plane, decay exponentially as $x o\pm\infty$ at each fixed $t,$ and can alternatively be written explicitly as algebraic combinations of exponential, trigonometric, and polynomial functions of the spatial and temporal coordinates $x$ and $t.$ Various equivalent forms of the matrix triplet are presented yielding the same exact solution.

研究の動機と目的

• 立方非線形性を有する焦点化非線形シュレーディンガー方程式（NLS）に対する正確な解を体系的に構築すること。
• 特に高次多重度や二重極を有するソリトンに対して困難を示す既存手法の限界を克服すること。
• 最小の行列三つ組（A, B, C）と行列指数関数を用いて、正確な解のコンactで明示的な公式を提供すること。
• 行列Aの固有値条件を満たす限り、全xt平面上で解のグローバル解析性と指数的減衰を保証すること。
• マーチェンコ積分方程式を含む他の可積分PDEに対してもこの手法を一般化すること。

提案手法

• サイズがp×p, p×1, 1×pである行列三つ組（A, B, C）を用い、R(λ) = -iC(λI - iA)^{-1}Bの形で最小実現による有理スキャッタリングデータを表現する。
• NLS方程式の解は、状態空間法を用いて構築されるF(x,t)の行列指数関数を含む明示的公式（9）で表現される。
• 行列F(x,t)は、F(x,t) = I + ∫₀^∞ e^{iA(x+2it)s} B C e^{iA^T(x-2it)s} dsとして構成され、固有値条件を満たせば逆行列が保証される。
• 解が、Aの固有値が純虚数でなく、かつ任意の二つの固有値が虚軸に関して対称でない限り、すべての固定t ∈ ℝに対してx → ±∞で指数的に減衰し、グローバルに解析的であることを保証する。
• マーチェンコ積分方程式を行列実現を用いて代数的に解くことで、従来のスキャッタリングデータの必要を回避する。
• 大きなpに対しても、行列指数関数を展開することで、指数関数、三角関数、多項式関数などの初等関数で表される解を明示的に評価可能である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の多重度に対して、統一的な枠組みで焦点化NLS方程式の正確なマルチソリトン解を体系的に構築する方法は何か？
• RQ2 行列三つ組（A, B, C）にどのような条件を課すと、得られるNLS解のグローバル解析性と指数的減衰が保証されるか？
• RQ3 行列実現を用いて逆散乱変換をどのように変更し、完全なスキャッタリングデータを必要とせずに正確な解を生成できるか？
• RQ4 同値な行列三つ組が同じNLS解をもたらすのはなぜか？類似変換の役割は何か？
• RQ5 この行列ベースの手法は、マーチェンコ方程式を含む他の可積分非線形PDEにどの程度一般化可能か？

主な発見

• 固有値が二つの条件を満たす限り（純虚数でなく、虚軸に関して対称でない）、解は全xt平面上でグローバルに解析的かつ指数的に減衰する。
• 解は、F(x,t)の行列指数関数を含むコンactな公式（9）で与えられ、上記の固有値条件を満たせばF(x,t)は逆行列をもつ。
• A = [[-2,0],[0,1]], B = [1,1]^T, C = [1,-1] である2×2の三つ組に対して、解は明示的にu(x,t) = [8e^{4it}(9e^{-4x}+16e^{4x}) - 32e^{16it}(4e^{-2x}+9e^{2x})] / [-128cos(12t) + 4e^{-6x} + 16e^{6x} + 81e^{-2x} + 64e^{2x}] として計算される。
• 正、負、または混合の固有値を持つ複数の同値な行列三つ組が、同じNLS解をもたらす。これは、類似変換のもとでの本手法の頑健性を示している。
• 任意のサイズpに対し、解を明示的に計算可能であり、行列指数関数を展開することで、大きなpに対しても初等関数（指数関数、三角関数、多項式関数）で表される表現が得られる。
• マーチェンコ方程式を含む他の可積分PDE、例えば半無限領域のKorteweg-de Vries方程式に対しても、同様の行列実現技術を用いて本手法を一般化可能である。