[論文レビュー] Exact Symbolic-Numeric Computation of Planar Algebraic Curves

Eric Berberich, Pavel Emeliyanenko+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 7, 2012

Polynomial and algebraic computation参考文献 5被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、記号的および数値的技法を組み合わせることで、平面代数的曲線の配置を証明可能で完全かつ効率的に計算するアルゴリズムを提示する。主な構成要素として、2変数代数系の実解を分離するためのBisolveと、単一曲線の解析に用いるGeoTopを導入し、結果の計算とGCD計算のみを記号的演算として使用することで、座標変換を回避し、GPU計算を活用して高速化することで、従来手法に比べて困難なケースでも優れた性能を発揮する。

ABSTRACT

We present a novel certified and complete algorithm to compute arrangements of real planar algebraic curves. It provides a geometric-topological analysis of the decomposition of the plane induced by a finite number of algebraic curves in terms of a cylindrical algebraic decomposition. From a high-level perspective, the overall method splits into two main subroutines, namely an algorithm denoted Bisolve to isolate the real solutions of a zero-dimensional bivariate system, and an algorithm denoted GeoTop to analyze a single algebraic curve. Compared to existing approaches based on elimination techniques, we considerably improve the corresponding lifting steps in both subroutines. As a result, generic position of the input system is never assumed, and thus our algorithm never demands for any change of coordinates. In addition, we significantly limit the types of involved exact operations, that is, we only use resultant and gcd computations as purely symbolic operations. The latter results are achieved by combining techniques from different fields such as (modular) symbolic computation, numerical analysis and algebraic geometry. We have implemented our algorithms as prototypical contributions to the C++-project CGAL. They exploit graphics hardware to expedite the symbolic computations. We have also compared our implementation with the current reference implementations, that is, LGP and Maple's Isolate for polynomial system solving, and CGAL's bivariate algebraic kernel for analyses and arrangement computations of algebraic curves. For various series of challenging instances, our exhaustive experiments show that the new implementations outperform the existing ones.

研究の動機と目的

• 座標変換を必要とせず、実平面代数的曲線の配置を完全かつ証明可能に計算するアルゴリズムの開発。
• 記号的計算を結果の計算とGCD計算に限定することで、高コストな代数的変形への依存を最小限に抑える。
• GPUアクセラレート演算を活用することで、特異的で不規則な曲線を含む幾何学的に複雑な曲線の効率性と頑健性を向上。
• 非一般な入力（共通座標を有するものも含む）に対しても、元の座標系で正確かつ完全な幾何的位相的解析を可能にする。
• CGALに統合された実用的で高性能な実装を提供し、現在の基準実装を上回る性能を発揮する。

提案手法

• アルゴリズムは、配置計算を2つの主要なサブルーチンに分解する：零次元2変数代数系の実解を分離するBisolveと、単一代数的曲線の位相を解析するGeoTop。
• Bisolveは、解をx方向およびy方向に射影するために結果の計算を用い、座標変更なしに、結果のデータとホモトピー的議論を組み合わせた新規な包含判定基準を適用して、証明可能な分離ボックスを特定する。
• 使用される記号的演算は2つに限定される：2変数多項式の結果の計算と、1変数多項式のGCD計算。これにより記号的オーバーヘッドを最小限に抑える。
• GPUアクセラレーションを用いて結果の計算とGCD計算を高速化し、CPUベースの計算と比較して100倍以上の高速化を達成。
• 座標変換を一切回避することで、非一般な入力でさえも元の座標系で直接計算可能であり、特に共通座標を有する場合にも有効。
• フィルタリング技術と証明可能な近似算術を用いて、高価な記号的演算の回数を削減し、計算を重要な段階に集中させる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 記号的・数値的ハイブリッド手法は、記号的演算を最小限に抑えつつ、完全かつ証明可能な平面代数的曲線の配置計算を可能にするか？
• RQ2 結果の計算とGCD計算のGPUアクセラレーションは、代数的曲線の記号的・数値的アルゴリズムの性能をどのように向上させるか？
• RQ3 除去法は、頑健性や効率性を損なわず、座標変換を回避できる程度にまで到達できるか？
• RQ4 提案手法は、特異的・不規則的・交差する曲線を含む幾何学的に複雑な曲線を、従来手法よりも効率的に処理できるか？
• RQ5 Lgp、MapleのIsolate、CGALの2変数カーネルといった基準実装と比較して、新アルゴリズムは困難なケースでどの程度の性能向上を達成するか？

主な発見

• 提案されたアルゴリズム、GeoTopAK_2は、投影された交差曲線や特殊曲線の組み合わせといった困難なケースにおいて、既存実装を上回る性能を発揮し、一部のベンチマークで最大10倍の高速化を達成。
• 特殊曲線の組み合わせである10曲線のケースでは、GeoTopAK_2は1201.34秒で完了したが、Ak_2は4000秒後にタイムアウトに達し、スケーラビリティの優位性が明確に示された。
• 8本以上の同じタイプの曲線に対しては、Ak_2はタイムアウトとなったが、GeoTopAK_2は1200秒未満で完了し、複雑性に対して顕著な耐性を示した。
• GPUアクセラレートされた結果の計算とGCD計算により、記号的計算のボトルネックが解消され、アルゴリズム全体の性能要因ではなくなった。
• 座標変換を一切行わず、非一般な入力（共通座標を有するものも含む）に対しても完全な証明と完全性を達成した。
• 新アルゴリズムのWebデモへの統合はすでに広範な利用を経験しており、実用的意義と使いやすさが裏付けられた。