[論文レビュー] Minkowski Sum Construction and other Applications of Arrangements of Geodesic Arcs on the Sphere

Efi Fogel|ArXiv.org|Jun 17, 2009

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 107被引用数 11

ひとこと要約

本稿では、球面上の測地線弧の配置を用いて、正確で出力に依存する3次元凸多面体のミンコフスキー和を計算するアルゴリズムを提示する。正確な有理数演算とCGALライブラリを活用し、ミンコフスキー和の複雑さに対するタイトな上限を確立し、正確な幾何計算に基づくロバストな衝突検出、近接クエリ、多面体分割を可能にする。

ABSTRACT

We present two exact implementations of efficient output-sensitive algorithms that compute Minkowski sums of two convex polyhedra in 3D. We do not assume general position. Namely, we handle degenerate input, and produce exact results. We provide a tight bound on the exact maximum complexity of Minkowski sums of polytopes in 3D in terms of the number of facets of the summand polytopes. The algorithms employ variants of a data structure that represents arrangements embedded on two-dimensional parametric surfaces in 3D, and they make use of many operations applied to arrangements in these representations. We have developed software components that support the arrangement data-structure variants and the operations applied to them. These software components are generic, as they can be instantiated with any number type. However, our algorithms require only (exact) rational arithmetic. These software components together with exact rational-arithmetic enable a robust, efficient, and elegant implementation of the Minkowski-sum constructions and the related applications. These software components are provided through a package of the Computational Geometry Algorithm Library (CGAL) called Arrangement_on_surface_2. We also present exact implementations of other applications that exploit arrangements of arcs of great circles embedded on the sphere. We use them as basic blocks in an exact implementation of an efficient algorithm that partitions an assembly of polyhedra in 3D with two hands using infinite translations. This application distinctly shows the importance of exact computation, as imprecise computation might result with dismissal of valid partitioning-motions.

研究の動機と目的

• 一般位置を仮定しない3次元凸多面体のミンコフスキー和を正確かつ出力に依存するアルゴリズムで計算するための開発。
• 多面体の面数を用いて、多面体のミンコフスキー和の最大複雑さに対するタイトな理論的上限を確立すること。
• 正確な幾何計算を用いて、衝突検出、近接クエリ、多面体分割といったロバストな応用を可能にすること。
• 球面上の配置のためのソフトウェアコンponentsをCGALライブラリに統合し、拡張性と精度を確保すること。
• 複数部品から成る組立分割問題のような複雑な幾何的タスクにおいて、浮動小数点誤差が有効な運動を不正に除外する可能性があることを実証すること。

提案手法

• 球面上に埋め込まれた測地線弧（大円の弧）の配置を、球面ガウス写像および関連構造のパrametric表現として用いる。
• 球面および立方体のパラメトリックな曲面を対象にしたCGAL「Arrangement on Surface 2」パッケージの変種を用い、これらの配置を正確に表現・操作する。
• 数値的ロバスト性を確保し、退化した入力における退化の問題を回避するために、正確な有理数演算に依存する。
• スイープライン法およびマップオーバーレイ技術の球面配置への適応を用いて、ミンコフスキー和の構築およびブール演算を支援する。
• SgalツールキットとCGALに統合され、3次元シーン表現のための正確な有理数座標と特別な幾何ノード（例：SphericalGaussianMap、ArrangementOnSphere）を用いる。
• これらのコンponentsの上に、衝突検出、近接クエリ、無限の平行移動を用いた多面体アセンブリの正確な分割といった応用が構築される。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 3次元空間における2つの凸多面体のミンコフスキー和の正確な最大複雑さは、入力多面体の面数を用いてどのように表されるか？
• RQ2 平行な面を含むような退化した入力が存在する場合、どのようにしてミンコフスキー和の構築を正確かつロバストに行えるか？
• RQ3 球面上の測地線弧の配置が、3次元多面体計算における正確かつ効率的な幾何操作を可能にする役割は何か？
• RQ4 正確な幾何計算は、有効な分割運動が不正に除外されるのを防げるか？
• RQ5 球面上の配置のためのソフトウェアコンponentsは、汎用的で拡張可能であり、正確な算術演算とCGALフレームワークと互換性を持つようにどのように設計できるか？

主な発見

• 本稿では、入力多面体の面数を関数として、3次元空間における多面体のミンコフスキー和のタイトな正確な上限を確立した。
• 3次元空間におけるk個の凸多面体のミンコフスキー和の最大複雑さは、∑₁≤i<j≤k (2mi−5)(2mj−5) + ∑₁≤i≤k mi + (k choose 2) で抑えられ、ここでmiはi番目の多面体の面数を表す。
• 提案されたアルゴリズムは出力に依存し、正確な有理数演算のみを用いるため、退化した場合でもロバストな結果を得られる。
• 実装により、正確な計算が分割問題において不可欠であることが示された。不正確な計算では、有効な運動が誤って拒否される可能性がある。
• Arrangement on Surface 2パッケージおよびSgalツールキットを含むソフトウェアコンponentsは、公開されており、球面配置および多面体演算の正確な表現と可視化をサポートする。
• このフレームワークにより、衝突検出、近接クエリ、無限平行移動を用いた正確なアセンブリ分割といった実用的応用が、すべて正確な幾何計算に基づいて可能になった。