[論文レビュー] Exact symmetry breaking ground states for quantum spin chains

S. Alipour, Sima Baghbanzadeh+1 more|ArXiv.org|Jan 8, 2008

Quantum many-body systems参考文献 2被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、4スite相互作用を有するスピン1/2量子スピン鎖の族を導入し、ハミルトニアンの並進および回転対称性を破る正確な基底状態を示す。射影に基づく構成により、基底状態、励起状態、相関関数の閉形式表現を導出し、スピン3/2鎖に対しても最近接相互作用を持つ系を構築し、その基底状態も回転対称性を破ることを示した。すべての相関関数は解析的に取り扱える。

ABSTRACT

We introduce a family of spin-1/2 quantum chains, and show that their exact ground states break the rotational and translational symmetries of the original Hamiltonian. We also show how one can use projection to construct a spin-3/2 quantum chain with nearest neighbor interaction, whose exact ground states break the rotational symmetry of the Hamiltonian. Correlation functions of both models are determined in closed form. Although we confine ourselves to examples, the method can easily be adapted to encompass more general models.

研究の動機と目的

• ハミルトニアンの回転対称性および並進対称性を自発的に破る正確な可解量子スピン鎖を構築すること。
• エンタングルドスピン配置に局所的射影演算子を用いる体系的な手法を開発し、このような対称性破れ基底状態を生成すること。
• 基底状態、最大エネルギー状態、および特定の励起状態の正確な閉形式表現を導出すること。
• 最近接相互作用を持つスピン3/2鎖への構成を拡張し、正確な可解性を保つこと。
• 行列積状態表現を用いて相関関数を明示的に計算し、既知のモデルと一致することを検証すること。

提案手法

• 基底状態 |φ₀⟩ を、スピン1/2の singlet 状態とスピン極化状態の周期的配置として定義する：|S₁₂, +₃, S₄₅, +₆, ..., S₃ₙ₋₂,₃ₙ₋₁, +₃ₙ⟩。
• 局所的ハミルトニアン h を射影演算子の和として構成する：h = 2J P₂ + P₀ ここで P₂ は全スピン2に射影し、P₀ = |χ⟩⟨χ| は4スピン singlet 状態に射影する。
• Clebsch-Gordan分解を用いて、⟨χ|S₂₃⟩ = 0 および類似の恒等式を証明し、h が |φ₀⟩ のすべての局所的配置を零化することを保証する。
• 得られた局所的ハミルトニアン h を用いて、周期的境界条件のもとでグローバルハミルトニアン H = ∑ₖ hₖ,ₖ₊₁,ₖ₊₂,ₖ₊₃ を構築する。
• スピン3/2鎖の場合は、スピン1/2の基底状態を演算子 A₊, A₋, B₊ を用いて行列積状態（MPS）表現に写像し、有効なスピン3/2行列を導出する。
• MPS表現を用いて相関関数を計算し、Gᶻ(1,r) および Gᵗ(1,r) に対して指数的減衰と振動的挙動を示す解析的表現を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ハミルトニアンに回転対称性および並進対称性がある量子スピン鎖が、これらの対称性を破る正確な基底状態を有しうるか？
• RQ2 与えられたエンタングルド多体状態が正確な基底状態となるような局所的ハミルトニアン構造は何か？
• RQ3 高スピン鎖において、最近接相互作用のみを用いてこのような対称性破れ基底状態を構築できるか？
• RQ4 このような対称性破れ基底状態における正確な相関関数は何か？ そしてそれらはどのように減衰するか？
• RQ5 基底状態に加え、最大エネルギー状態や他の励起状態も解析的に導出可能か？

主な発見

• 4スイト相互作用を有するスピン1/2鎖は、ハミルトニアンが対称であるにもかかわらず、並進および回転対称性を破る正確な基底状態 |φ₀⟩ を有する。
• 局所的ハミルトニアン h = 2J P₂ + P₀ は、任意の J > 0 に対して |φ₀⟩ のすべての配置を零化するため、基底状態であることが保証される。
• 最大エネルギー状態および複数の低エネルギー励起状態が閉形式で明示的に導出され、これは従来の AKLT や行列積状態モデルでは達成されていなかった特徴である。
• 最近接相互作用を持つスピン3/2鎖が構築され、その基底状態は回転対称性を破り、正確な行列積状態表現を有する。
• 相関関数が明示的に計算された：Gᶻ(1,r) = Aₗ (−1)ʳ⁻¹ e⁻ʳ/ξₗ および Gᵗ(1,r) = Aₜ (−1)ʳ⁻¹ e⁻ʳ/ξₜ ここで Aₗ = (12 + 6√3)/4, Aₜ = (12 + 7√3)/4, ξₗ = 1/ln(2+√3), ξₜ = 1/ln(1+√3)。
• スピン3/2鎖の基底状態は全スピン多重項のサイズ N/2 を有し、最高重率状態はMPS形式を用いて明示的に構成された。