[論文レビュー] Planar Spin Network Coherent States I. General Properties

Donald E. Neville|arXiv (Cornell University)|Jul 7, 2008

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 27被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、ゲージ固定によりSU(2)をU(1)に縮小したにもかかわらず、閉じた横方向のループに起因する予期しないO(3)対称性を尊重する平面スピンネットワークのコherent状態を構築する。これらの状態は、U(1)対称性を正確に保存するのではなく、近似的に保存するホロノミーの重ね合わせであり、補正項が小さい演算子の近似的固有状態として作用し、後続の研究で体積演算子の摂動的補正を可能にする。

ABSTRACT

This paper constructs coherent states for spin networks with planar symmetry. After gauge-fixing, the full SU(2) symmetry is broken to U(1), but one cannot simply use the U(1) limit of SU(2) coherent states, because the planar states exhibit an unexpected O(3) symmetry arising from the closed loop character of the transverse directions. The coherent states constructed in this paper obey this symmetry. They are superpositions of holonomies which obey the residual U(1) symmetry only on average; some holonomies in the superposition violate the symmetry, although the U(1) quantum numbers of these holonomies are peaked at values which obey the symmetry. Operators acting on coherent states give back a c-number times the original state, plus small correction states, which make the coherent state an approximate, rather than exact eigenstate of the operator. In a follow-on paper, these small correction states are used to calculate small corrections to the volume operator.

研究の動機と目的

• ゲージ固定後の残留対称性を正しく反映する平面対称性を持つスピンネットワークのコherent状態を構築すること。
• 平面配置における閉ループ幾何から生じる発現的O(3)対称性を捉えることができない標準的U(1)コherent状態の失敗を解消すること。
• 補正項が小さいことを保証し、摂動計算に使用可能な近似的固有状態となるようにコherent状態を保証すること。
• 後続研究における体積演算子の微小補正を計算する基盤を提供すること。

提案手法

• スピンネットワークのSU(2)対称性をゲージ固定によりU(1)に縮小するが、平面配置の元の幾何的構造を保持する。
• 個々のホロノミーがU(1)対称性を破るが、全体としてU(1)不変の量子数にピークを持つホロノミーの重ね合わせとしてコherent状態を構築する。
• U(1)への還元にもかかわらず、設計上発現的O(3)対称性を尊重するように状態を定義する。
• 演算子が状態に対してc数倍の状態に加え、小さな補正状態を生成するように状態を定義し、近似的固有状態としての役割を果たす。
• 補正項の構造を用いて、後続の論文で体積演算子の摂動的計算を可能にする。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 閉じた横方向ループから生じる発現的O(3)対称性を正しく反映する平面スピンネットワークのコherent状態は、どのように構築できるか？
• RQ2 なぜ標準的U(1)コherent状態は、閉ループ幾何を持つ平面スピンネットワークを記述できないのか？
• RQ3 対称性制約を保ったまま、コherent状態を演算子の近似的固有状態にできるか？
• RQ4 ホロノミーの重ね合わせが、対称性平均化されたU(1)振る舞いを実現する役割は何か？
• RQ5 演算子作用における補正項は、後続研究における体積演算子の摂動的計算をどのように可能にするか？

主な発見

• 構築されたコherent状態は、平面スピンネットワークにおける閉じた横方向のトポロジーに起因し、予期しないO(3)対称性を示す。
• 個々のホロノミーがU(1)対称性を破るが、全体としてU(1)不変の量子数にピークを持つホロノミーの重ね合わせである。
• 演算子が状態に作用すると、c数倍の状態に加え小さな補正状態が生成され、近似的固有状態としての役割が確認される。
• 小さな補正状態は、後続研究における体積演算子の摂動的補正を計算するために不可欠である。
• この手法により、縮小されたU(1)対称性と平面スピンネットワークの幾何的制約がうまく調和された。