[論文レビュー] Exactness, K-property and infinite mixing

Marco Lenci|arXiv (Cornell University)|Dec 17, 2012

Mathematical Dynamics and Fractals参考文献 22被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、無限測度保存力学系における正確性とK性の意味を調査し、これらが強い混合性を示す場合、時間発展する絶対連続確率測度の漸近的合体という弱い形のグローバル-ローカル混合を意味することを示している。主な貢献は、正確またはK混合系において、異なる初期状態における観測量の平均値の差が長時間の極限で消えることの証明であり、無限体積平均によって支配される平衡への収束という形で、平衡への収束が確立されることである。

ABSTRACT

We explore the consequences of exactness or K-mixing on the notions of mixing (a.k.a. infinite-volume mixing) recently devised by the author for infinite-measure-preserving dynamical systems.

研究の動機と目的

• 無限エルゴード理論における正確性とK性の意味を明確にすること、特に混合性行動に関するものである。
• 強い有限混合性の性質と無限体積混合の概念との間の関係を確立すること。
• 正確性が、時間発展する測度が漸近的に合体するという弱い形のグローバル-ローカル混合を意味することを示すこと。
• 平衡観測量の空間を定義・分析し、無限系における長期的統計的挙動を捉えること。
• グローバル観測量と無限体積平均を用いて、無限測度系における平衡への収束を理解するための枠組みを提供すること。

提案手法

• 位相空間全体で一様に有界で、質的に類似した性質を持つ、$L^∞(X,\mathscr{A},\mu)$ 内のグローバル観測量を導入する。
• 全測度が有限である集合の族 $V$ が測度 $\mu$ に関して exhaustion をなすとき、無限体積平均 $\overline{\mu}(F) := \lim_{V\nearrow X} \frac{1}{\mu(V)} \int_V F\,d\mu$ を定義する。
• 時間発展演算子下での観測量間の相関の極限に基づき、グローバル-ローカル混合やグローバル-グローバル混合を含む、無限混合の5つの定義を提案する。
• 測度のプッシュフォワード $T_*^n \mu_g$ を用いて、グローバル-ローカル混合を平衡への収束として解釈する。ここで $\mu_g$ は $\mu$ に関して絶対連続な確率測度である。
• 特定の系（奇数写像、$\mathbb{R}$ 上の平行移動不変な拡大写像、ドリフト付きランダムウォーク）に理論を適用し、正確性が、ある種の $F$ に対して $\rho(F) = \overline{m_{\mathbb{R}}}(F)$ を満たすことを証明する。
• 平衡観測量の空間 $\hat{\mathcal{E}}$ を、極限 $\rho(F) := \lim_{n\to\infty} m_{\mathbb{R}}((F\circ T^n)g)$ によって定義し、正確性が一様収束の条件下で $F \in \hat{\mathcal{E}}$ を保証することを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 正確性は、無限不変測度を持つ系において、何らかの形の無限混合性を示すか？
• RQ2 K性または正確性は、無限系において、異なる初期状態が同じ長期的統計的挙動をもたらすことを保証するか？
• RQ3 無限体積平均 $\overline{\mu}(F)$ は、無限測度系における平衡状態を特徴付ける上で果たす役割は何か？
• RQ4 グローバル観測量およびその平均値は、正確またはK混合系において時間発展演算子の下でどのように振る舞うか？
• RQ5 有界、周期的、または漸近的に周期的な観測量が、平衡観測量の空間 $\hat{\mathcal{E}}$ に属するための条件は何か？

主な発見

• 正確性により、任意の $\mu$ に関して絶対連続な2つの初期確率測度 $\mu_g$ と $\mu_h$ に対して、すべてのグローバル観測量 $F$ について、差 $T_*^n \mu_g(F) - T_*^n \mu_h(F)$ が0に漸近的に収束することが保証され、漸近的合体が成立する。
• ルベーグ測度を保存する $\mathbb{R}$ 上の平行移動不変な拡大写像では、任意の有界な $\mathbb{Z}$-周期的観測量 $F$ に対して $\rho(F) = \overline{m_{\mathbb{R}}}(F)$ が成り立ち、これは $F$ が平衡観測量の空間 $\hat{\mathcal{E}}$ に属することを意味する。
• 正のドリフトを有するランダムウォーク系では、関数 $F$ に対して $\lim_{M\to\infty} \int_{a-M}^{a+M} F(x)\,dx$ が $a$ に関して一様に成り立つような関数 $F$ に漸近的に一致する任意の有界関数 $G$ に対しても $\rho(G) = \rho(F)$ が成り立ち、$G$ は $\hat{\mathcal{E}}$ に属する。
• 写像 $T$ が正確で $F$ が有界かつ周期的であるとき、すべての $g \in L^1(\mathbb{R})$ に対して $\lim_{n\to\infty} m_{\mathbb{R}}((F\circ T^n)g) = \overline{m_{\mathbb{R}}}(F) m_{\mathbb{R}}(g)$ が成り立つ。これは、この設定においてグローバル-ローカル混合が成立することを確認する。
• 平衡観測量の空間 $\hat{\mathcal{E}}$ は、すべての $L^\infty$ 関数のうち、極限 $\rho(F) = \lim_{M\to\infty} \int_{a-M}^{a+M} F(x)\,dx$ が $a$ に関して一様に存在するものから成り、その極限は無限体積平均 $\overline{m_{\mathbb{R}}}(F)$ に等しい。
• 本稿は、正確性が、$\lim_{n\to\infty} \left| T_*^n \mu_g(F) - T_*^n \mu_h(F) \right| = 0$ がすべての $F \in \mathcal{G}$ に対して成り立つという弱い形のグローバル-ローカル混合を意味することを証明した。これは、共通の統計的状態への収束を示している。