[論文レビュー] Examples of flag-wise positively curved spaces

Ming Xu|arXiv (Cornell University)|Jun 6, 2016

Advanced Differential Geometry Research参考文献 8被引用数 3

ひとこと要約

この論文は、キリングナビゲーションに基づく摂動技術を用いて、コンパクトなリー群およびその同相空間上にフラッグごとに正の曲率を持つフィン슬ラ計量を構成する。任意の中心が自明な非アーベルコンパクトリー群がこのような計量を有することを証明し、一般に、すべてのコンパクトな単連結同相空間 $G/H$ 及びその $S^1$-積に対しても、フラッグごとに正の曲率を持つフィン슬ラ計量が存在することを示している。多くの計量は非一様的である。

ABSTRACT

A Finsler space $(M,F)$ is called flag-wise positively curved, if for any $x\in M$ and any tangent plane $\mathbf{P}\subset T_xM$, we can find a nonzero vector $y\in \mathbf{P}$, such that the flag curvature $K^F(x,y, \mathbf{P})>0$. Though compact positively curved spaces are very rare in both Riemannian and Finsler geometry, flag-wise positively curved metrics should be easy to be found. A generic Finslerian perturbation for a non-negatively curved homogeneous metric may have a big chance to produce flag-wise positively curved metrics. This observation leads our discovery of these metrics on many compact manifolds. First we prove any Lie group $G$ such that its Lie algebra $\mathfrak{g}$ is compact non-Abelian and $\dim\mathfrak{c}(\mathfrak{g})\leq 1$ admits flag-wise positively curved left invariant Finsler metrics. Similar techniques can be applied to our exploration for more general compact coset spaces. We will prove, whenever $G/H$ is a compact simply connected coset space, $G/H$ and $S^1 imes G/H$ admit flag-wise positively curved Finsler metrics. This provides abundant examples for this type of metrics, which are not homogeneous in general.

研究の動機と目的

• グローバルな正の曲率よりも弱い条件であるフラッグごとに正の曲率条件（FP）を満たす新しいフィン슬ラ計量の例を構成すること。
• 先行研究の問題4.4に応えるために、中心が小さい非アーベルコンパクトリー群上にこのような計量が存在することを証明すること。
• 構成法を一般のコンパクトで単連結な同相空間 $G/H$ 及びその $S^1$-積へと拡張すること。
• 非負の曲率を持つ同調的計量に対する一般なフィン슬ラ摂動が、フラッグごとに正の曲率を持つ計量を生むことの十分性を示すこと。
• このような計量が豊富に存在し、必ずしも一様的でないことを示し、既知の例のクラスを拡張すること。

提案手法

• コンパクトなリー群上の左右不変または正規同調的フィン슬ラ計量を、キリングナビゲーション技術を用いて摂動する。
• 球面バンドル $\mathcal{S}M$ 上に分区を適用し、ナビゲーションによって定義された局所フィン슬ラ計量を貼り合わせる。
• ノルムが小さいキリングベクトル場を用いて、開集合 $\mathcal{U}_i$ 上の局所フィン슬ラ計量 $\tilde{F}_{i;\epsilon}$ を構成する。
• 滑らかな分区関数を用いて、$F_\epsilon = \sum \mu_i F_{i;\epsilon}$ として定義されるグローバル計量が正定値のままであるように保証する。
• フラッグ曲率の公式 $K^F(x,y,\mathbf{P}) = \frac{\langle R_y v, v \rangle_y^F}{\|y\|_y^2 \|v\|_y^2 - \langle y,v \rangle_y^2}$ を用いて正の曲率を検証する。
• トポロジー的議論（例えば、余次元1の球面と交わる円の有限個の交わりによる背理法）を用いて、すべての接平面がフラッグ曲率が正である領域と交わることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 中心の次元が $\dim \mathfrak{c}(\mathfrak{g}) \leq 1$ であるようなコンパクトな非アーベルリー群上に、フラッグごとに正の曲率を持つフィン슬ラ計量を構成できるか？
• RQ2 すべてのコンパクトで単連結な同相空間 $G/H$ は、フラッグごとに正の曲率を持つフィン슬ラ計量を有するか？
• RQ3 このような計量は一様的でない形で構成可能であり、既知の同調的例の範囲を超えて広がっているか？
• RQ4 非負の曲率を持つ計量に対する一般なフィン슬ラ摂動が、フラッグごとに正の曲率条件を満たすのに十分か？
• RQ5 $S^1$-積の構成法は、フラッグごとに正の曲率性質を保つことができるか？

主な発見

• 任意の中心が自明な非アーベルコンパクトリー群 $G$ に対して、左不変なフラッグごとに正の曲率を持つフィン슬ラ計量が存在する。
• 任意のコンパクトで単連結な同相空間 $G/H$ に対して、$G/H$ および $S^1 \times G/H$ は、フラッグごとに正の曲率を持つフィン슬ラ計量を持つ。
• 構成された計量は必ずしも一様的ではなく、このような計量が同調的クラスを越えて豊富に存在することを示している。
• すべての接平面における一般な接ベクトルに対してフラッグ曲率が正であり、(FP)条件がグローバルに満たされている。
• キリングナビゲーションと球面バンドル上の分区関数を用いた、巧みな貼り合わせプロセスに依存している。
• この方法により、局所的摂動を通じてフラッグごとに正の曲率を達成しつつ、グローバル計量がフィン슬ラ的（正定値ヘッセ行列）のままであることが保証される。