[論文レビュー] Examples of metric spaces with asymptotic property $C$

Yan Wu, Jingming Zhu|arXiv (Cornell University)|Dec 3, 2019

Advanced Operator Algebra Research参考文献 14被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、任意に大きな非可算次元を持つ度合いのトランスフィニット漸近次元と補数的有限漸近次元をもつメトリック空間を構成する。具体的には、任意の $k ∈ \mathbb{N}$ に対して、両方の次元が $\omega + k$ に等しい空間が存在することを示し、さらに次元 $2\omega$ の空間も構成する。また、漸近次元の成長とトランスフィニット漸近次元が独立な不変量であることを示すために、一方が他方より速く成長する例を構成し、トランスフィニット次元が固定された状況でも成り立つことを示している。

ABSTRACT

We construct a class of metric spaces whose transfinite asymptotic dimension and complementary-finite asymptotic dimension are both $ω+k$ for any $k\in\mathbb{N}$, where $ω$ is the smallest infinite ordinal number and a metric space whose transfinite asymptotic dimension and complementary-finite asymptotic dimension are both $2ω$. Moreover, we study the relationship between asymptotic dimension growth, transfinite asymptotic dimension and finite decomposition complexity.

研究の動機と目的

• 任意の $k \in \mathbb{N}$ に対して、トランスフィニット漸近次元 $\omega + k$ をもつメトリック空間を構成し、無限次元メトリック空間に関する先行研究を拡張すること。
• トランスフィニット漸近次元 $2\omega$ をもつメトリック空間を構成し、中間的な無限次元が存在するかという長年の未解決問題を解決すること。
• 明示的な反例を用いて、漸近次元の成長がトランスフィニット漸近次元および有限分解複雑度と独立であることを示すこと。
• 任意の無限大に発散する増加関数 $g$ に対して、$\text{trasdim}(X_{\omega}(g)) = \omega$ かつすべての $r > 0$ に対して $ad_{X_{\omega}(g)}(r) \geq g(r)$ を満たすメトリック空間 $X_{\omega}(g)$ が存在することを示すこと。
• 有限分解複雑度でさえ、漸近次元の成長がトランスフィニット漸近次元や有限分解複雑度を制御しないことを示し、特に後者が有限であっても成り立つこと。

提案手法

• 関数 $\tilde{g}(r)$ を適切に選ぶことで、$X_{\omega}(g)$ を、スケーリングされた整数格子 $(2^{\tilde{g}(i)}\mathbb{Z})^{g(i)}$ の粗い直積として構成する。各成分の漸近次元が $g(r)$ に等しくなるようにする。
• トランスフィニット漸近次元は $\mathcal{D}_\alpha$-分解の概念を用いて分析され、$X_{\omega}(g) \in \mathcal{D}_\omega$ だが、任意の有限 $n$ に対して $\mathcal{D}_n$ には属さないため、$\text{trasdim}(X_{\omega}(g)) = \omega$ であることが示される。
• 空間 $Y_{2\omega}$ は、$X_{\omega}(g)$ のスケーリングされたコピーの粗い直積として構成され、次元が丁度 $\text{trasdim}(Y_{2\omega}) = 2\omega$ および $\text{coasdim}(Y_{2\omega}) = 2\omega$ になるように調整されている。
• 漸近次元の成長は $ad_X(r)$ の増加率を分析することで推定され、$\text{trasdim}(X) = \omega$ のまま、$ad_X(r)$ を任意に大きくできることが示される。
• 独立性の証明は、$ad_{X_{\omega}(g)}(r)$ と $ad_{Y_{2\omega}}(r)$ を比較することで行われ、すべての $r > 0$ に対して $ad_{X_{\omega}(g)}(r) > ad_{Y_{2\omega}}(r)$ が成り立つが、$\text{trasdim}(Y_{2\omega}) = 2 \cdot \text{trasdim}(X_{\omega}(g))$ であることを示す。
• 証明は $\ell^\infty$-型空間における被覆の議論と、$r$-離散かつ一様有界な族の使用に依拠し、次元の成長とトランスフィニット分解の制御を行う。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の $k \in \mathbb{N}$ に対して、トランスフィニット漸近次元 $\omega + k$ をもつメトリック空間を構成できるか？
• RQ2 トランスフィニット漸近次元 $2\omega$ をもつメトリック空間は存在するか？ また、そのような空間を明示的に構成できるか？
• RQ3 漸近次元の成長はトランスフィニット漸近次元を制御するのか、それとも独立な不変量なのか？
• RQ4 トランスフィニット漸近次元が $\omega$ のまま、漸近次元の成長を任意に大きくできるメトリック空間は存在するか？
• RQ5 有限分解複雑度は、トランスフィニット次元が固定された状況でも、漸近次元の成長と独立であるのか？

主な発見

• 任意の $k \in \mathbb{N}$ に対して、そのトランスフィニット漸近次元と補数的有限漸近次元が両方とも $\omega + k$ に等しいメトリック空間 $X_{\omega+k}$ が存在する。
• トランスフィニット漸近次元と補数的有限漸近次元が両方とも $2\omega$ に等しいメトリック空間 $Y_{2\omega}$ が存在し、これは初めての明示的構成である。
• 任意の無限大に発散する増加関数 $g: \mathbb{R}^+ \to \mathbb{Z}^+$ に対して、$\text{trasdim}(X_{\omega}(g)) = \omega$ かつすべての $r > 0$ に対して $ad_{X_{\omega}(g)}(r) \geq g(r)$ を満たすメトリック空間 $X_{\omega}(g)$ が存在する。
• $ad_{X_{\omega}(g)}(r) > ad_{Y_{2\omega}}(r)$ がすべての $r > 0$ に対して成り立つが、$\text{trasdim}(Y_{2\omega}) = 2 \cdot \text{trasdim}(X_{\omega}(g))$ であるため、漸近次元の成長とトランスフィニット次元の間には独立性が存在することが証明された。
• $X_{\omega}(g)$ は $\mathcal{D}_\omega$ には属するが、任意の有限 $n$ に対して $\mathcal{D}_n$ には属さないため、$\text{trasdim}(X_{\omega}(g)) = \omega$ であることが確認され、$\mathcal{D}_\omega$ が適切な分解複雑度の段階を捉えていることが示された。
• 結果として、漸近次元の成長と有限分解複雑度は独立な不変量であることが示された。これは、一方が急激に成長するが他方は有界またはゆっくり成長する例を構成することで裏付けられている。