[論文レビュー] Examples of non-autonomous basins of attraction-II

Sayani Bera|arXiv (Cornell University)|Jan 19, 2018

Advanced Differential Equations and Dynamical Systems参考文献 9被引用数 3

ひとこと要約

本稿は複素空間における非自己同型吸引域の構成を拡張し、$k \geq 2$ のとき $\mathbb{C}^k$ に可算無限個の互いに素な Short $\mathbb{C}^k$ 領域の存在を証明するとともに、$k \geq 4$ のとき Runge でない Short $\mathbb{C}^k$ を構成する。また、自己同型の列に一様な上界条件が成り立つ場合の新しい摂動法を導入し、それにより吸引域同士の正則同型同値性を保証する。さらに、Hausdorff次元が $2k-1$ よりも厳密に大きい境界を持つ Short $\mathbb{C}^k$ の構成的証明も提示する。主たる貢献は、特定の幾何的・力学的性質を備えた多様で複雑な Short $\mathbb{C}^k$ 領域を生成するための強固なフレームワークの構築である。

ABSTRACT

The aim of this article is to enlarge the list of examples of non-autonomous basins of attraction from our previous paper and at the same time explore some other properties that they satisfy. For instance, we show the existence of countably many disjoint Short $\mathbb{C}^k$'s in $\mathbb{C}^k.$ We also construct a Short $\mathbb{C}^k$ which is not Runge and exhibit yet another example whose boundary has Hausdorff dimension $2k.$

研究の動機と目的

• 非自己同型吸引域、特に Short $\mathbb{C}^k$ 領域の既知の例のリストを、これまでの構成を超えて拡張すること。
• $k \geq 2$ のとき $\mathbb{C}^k$ に可算無限個の互いに素な Short $\mathbb{C}^k$ 領域が存在することを示すこと。
• $k \geq 4$ のとき Runge でない Short $\mathbb{C}^k$ を構成し、高次元における非 Runge 領域の新たなクラスを確立すること。
• 自己同型の列が一様上界条件を満たす場合の摂動法を開発し、それにより得られる吸引域同士の正則同型同値性を保証すること。
• 新しい摂動フレームワークを用いて、Hausdorff次元が $2k-1$ よりも厳密に大きい境界を持つ Short $\mathbb{C}^k$ の構成的証明を提供すること。

提案手法

• 自己同型の列 $\{F_n\} \subset \mathrm{Aut}_0(\mathbb{C}^k)$ が原点で一様上界条件 $\|F_n(z)\| < C\|z\|$ を満たす（$z$ が固定された球内にあり、$0 < C < 1$）ものとして、非自己同型吸引域 $\Omega_{\{F_n\}}$ を定義する。
• Dixon–Esterle、Glovebnik、Stensønes にインspされた新しい摂動技法を適用し、自己同型を微小に摂動しても、それらが生成する吸引域の正則同型同値性を保つことを可能にする。
• コンパクト集合 $K^i$ の帰納的定義と、吸引域の境界構造を制御するための自己同型 $F_n$ の摂動を含む構成を行う。
• 収束性と写像の力学的挙動の制御を保証するため、$a_{n+1} < a_n^2 < 1$ かつ $\lim_{n\to\infty} a_n^{-2^n} = 0$ を満たす数列 $\{a_n\}$ の使用が鍵的である。
• $\|F_n(z) - S_n(z)\| < \delta_n$ が固定された球上で成り立ち、$\{S_n\}$ が一様上界条件を満たすならば、$\Omega_{\{F_n\}} \cong \Omega_{\{S_n\}}$ が成り立つという、$\delta_n \to 0$ となる数列 $\{\delta_n\}$ の存在に依存する。これにより、小さな摂動に対しても吸引域構造の安定性が保証される。
• 混沌とした境界構造の証明には、コンパクト集合 $K^i$ の再帰的構成と、境界に正の $2k$ 次元測度と $2k-1$ を超える Hausdorff次元を保証する摂動を用いる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 $k \geq 2$ のとき $\mathbb{C}^k$ に可算無限個の互いに素な Short $\mathbb{C}^k$ 領域を構成できるか？
• RQ2 $k \geq 4$ のとき Runge でない Short $\mathbb{C}^k$ が存在するか？
• RQ3 一次項を超える高次項を含む自己同型の列の吸引域も still Short $\mathbb{C}^k$ となるか？
• RQ4 二つの非自己同型吸引域が正則同型であるための条件は何か？
• RQ5 Short $\mathbb{C}^k$ 領域の境界の最大可能な Hausdorff次元は何か？

主な発見

• $k \geq 2$ のとき $\mathbb{C}^k$ に可算無限個の互いに素な Short $\mathbb{C}^k$ 領域を構成し、これまでの孤立例を超えた既知の例の拡張を達成した。
• $k \geq 4$ のとき $\mathbb{C}^k$ に Runge でない Short $\mathbb{C}^k$ 領域を示し、このような領域が Runge 性を満たさない可能性があることを実証した。
• 新たな摂動法が確立された：固定された球上で $\|F_n(z) - S_n(z)\nless \delta_n$ かつ $\{S_n\}$ が一様上界条件を満たすならば、$\Omega_{\{F_n\}} \cong \Omega_{\{S_n\}}$ が成り立つ。これにより吸引域構造の安定性が保証された。
• 新しい摂動フレームワークを用いて、Hausdorff次元が $2k-1$ よりも厳密に大きい境界を持つ Short $\mathbb{C}^k$ の構成的証明が提供された。
• 構成された Short $\mathbb{C}^k$ の境界が正の $2k$ 次元 Hausdorff測度を持つことが証明され、幾何学的に大きな境界を有することが示された。
• 再帰的構成により、境界に正の $2k$ 次元測度を持つコンパクト集合の稠密な集合を含む、混沌とした境界を有する Short $\mathbb{C}^k$ の存在が確認された。