[論文レビュー] Examples of non-Kähler Calabi-Yau 3-folds with arbitrarily large $b_2$

Kenji Hashimoto, Taro Sano|arXiv (Cornell University)|Feb 4, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 29被引用数 4

ひとこと要約

この論文は、2つのケーラー的成分からなる単純な正則交差多様体を滑らかにするために対数変形理論を用い、第二ベッチ数 $b_2$ が任意に大きな非ケーラー的カルビィ3次元多様体の初の既知の例を構成した。得られた多様体は単連結で、非射影的であり、代数的次元は1であり、ホッジからデ リームのスペクトル系列が $E_1$ で退化する非制限の変形を持つ。主な貢献は、非ケーラー的カルビィ3次元多様体のびめるモーフィズム的非有界性である。

ABSTRACT

We construct non-Kähler simply connected Calabi-Yau 3-folds with arbitrarily large 2nd Betti numbers by smoothing normal crossing varieties with trivial dualizing sheaves.

研究の動機と目的

• 第二ベッチ数 $b_2$ が任意に大きな非ケーラー的カルビィ3次元多様体を構成し、このクラスにおける位相的非有界性という未解決問題に応える。
• 例 $X(a)$ と $X(a')$ が $a \neq a'$ のとき互いにびめるモーフィズム的でないことを示すことにより、非ケーラー的カルビィ3次元多様体のびめるモーフィズム的非有界性を示す。
• このようなカルビィ3次元多様体が、自明な正則接続バンドルにもかかわらず、単連結で非射影的かつ代数的次元1をもつことを確立する。
• ケーラー的成分をもつ非射影的SNC多様体への対数変形理論の適用を拡張し、カルビィ多様体への滑らか化を可能にする。
• ホッジからデ リームのスペクトル系列が $E_1$ で退化し、変形が非制限的であることを確認することで、カルビィ構造の保存を裏付ける。

提案手法

• 単純な正則交差（SNC）多様体 $X_0(a) = X_1 \cup X_2$ を構成する。ここで $X_1$ は $\mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ を楕円ファイブレーションの $a$ 個の異なる滑らかで正則なファイバーと曲線 $C$ 沿いに吹き増ししたものであり、$X_2 = \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1 \times \mathbb{P}^1$ である。
• $X_1$ と $X_2$ を、それらが同型な交差 $S$（反標準的除集合）に沿って貼り合わせる。$S$ 上の無限位数の自己同型によるねじれを用いることで、任意に多くの吹き増しを可能にする。
• カワマタ＝ナミカワの対数変形理論を用い、$X_0(a)$ を滑らかにし、自明な正則接続バンドルと $0 < i < 3$ の $H^i(X, \mathcal{O}_X)$ の消失を満たす、滑らかなカルビィ3次元多様体 $X(a)$ に変形する。
• 上半連続性定理とコhomological消失を用い、中心ファイバーから一般ファイバーへの大きなラインバンドルの持ち上げを行い、$\mathbb{P}^1$ への射影を保存する。
• 背理法により非射影性と代数的次元1を証明する：$a(X) \geq 2$ を仮定すると、中心ファイバーに大きなラインバンドルが存在するという矛盾に至る。
• レフシェッツ超平面定理と基本群の比較を用い、単連結性を証明し、非制限の変形とホッジからデ リームのスペクトル系列の $E_1$ での退化を確認する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 滑らか化技術を用いて、第二ベッチ数 $b_2$ が任意に大きな非ケーラー的カルビィ3次元多様体を構成できるか？
• RQ2 このような例が単連結で非射影的かつ代数的次元1をもつものとして存在するか？
• RQ3 非ケーラー的カルビィ3次元多様体において、びめるモーフィズム的非有界性は可能か、すなわち、無限個の非びめるモーフィズム的な多様体が存在するか？
• RQ4 ケーラー的成分をもつ非射影的SNC多様体に、対数変形理論を適用してカルビィ多様体を生成できるか？
• RQ5 ホッジからデ リームのスペクトル系列と変形理論は、これらの非ケーラー的カルビィ3次元多様体においてうまく機能するか？

主な発見

• 任意の正の整数 $a$ に対して、$b_2(X(a)) = a + 3$ をもつ単連結で非ケーラー的カルビィ3次元多様体 $X(a)$ が存在する。
• $X(a)$ の位相的オイラー標数は $e(X(a)) = -256a^2 + 32a - 224$ であり、これは任意に負にできる。
• $X(a)$ の代数的次元は正確に1であり、$X(a)$ はいかなるケーラー多様体ともびめるモーフィズム的でない。
• $X(a)$ に対してホッジからデ リームのスペクトル系列は $E_1$ で退化し、$X(a)$ は非制限の変形をもつ。
• $a \neq a'$ のとき、多様体 $X(a)$ と $X(a')$ はびめるモーフィズム的でない。これは、非ケーラー的カルビィ3次元多様体のカテゴリにおいてびめるモーフィズム的非有界性を確立する。
• 交差面 $S$ 上の非自明な無限位数の自己同型を用いることで、任意に多くの吹き増しを可能にし、結果として任意に大きな $b_2$ を達成している。