[論文レビュー] Dual Polyhedra and Mirror Symmetry for Calabi-Yau Hypersurfaces in Toric Varieties

Victor V. Batyrev|ArXiv.org|Oct 5, 1993

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 23被引用数 936

ひとこと要約

この論文は、反射的多面体とその極双対多面体を用いて、特徴的な多面体の族としてのCalabi-Yau超曲面の双対性を導入する。組合せ的対合 Δ ↦ Δ* を通じて鏡写像を定義することで、双対族間でホッジ数 h^{1,1} と h^{2,1} が一致する対応関係を確立し、一般のトーリック多様体への重み付き射影空間からの既知の結果の拡張を含め、鏡対応の体系的構成を提供する。

ABSTRACT

We consider families ${\cal F}(Δ)$ consisting of complex $(n-1)$-dimensional projective algebraic compactifications of $Δ$-regular affine hypersurfaces $Z_f$ defined by Laurent polynomials $f$ with a fixed $n$-dimensional Newton polyhedron $Δ$ in $n$-dimensional algebraic torus ${\bf T} =({\bf C}^*)^n$. If the family ${\cal F}(Δ)$ defined by a Newton polyhedron $Δ$ consists of $(n-1)$-dimensional Calabi-Yau varieties, then the dual, or polar, polyhedron $Δ^*$ in the dual space defines another family ${\cal F}(Δ^*)$ of Calabi-Yau varieties, so that we obtain the remarkable duality between two {\em different families} of Calabi-Yau varieties. It is shown that the properties of this duality coincide with the properties of {\em Mirror Symmetry} discovered by physicists for Calabi-Yau $3$-folds. Our method allows to construct many new examples of Calabi-Yau $3$-folds and new candidats for their mirrors which were previously unknown for physicists. We conjecture that there exists an isomorphism between two conformal field theories corresponding to Calabi-Yau varieties from two families ${\cal F}(Δ)$ and ${\cal F}(Δ^*)$.

研究の動機と目的

• 反射的多面体を用いて、トーリック多様体内のCalabi-Yau超曲面の族の間の組合せ的双対性を確立すること。
• 重み付き射影空間からの鏡対称性の構成を、一般のトーリック多様体へ一般化すること。
• Calabi-Yau 3-fold の新しい鏡対を体系的に構成する方法を提供すること。
• 双対多面体構成を通じて、ホッジダイヤモンドの対称性 h^{1,1}(V) = h^{2,1}(V*) が実現されることを証明すること。
• 双対Calabi-Yau族に関連するコンformal field theories 間の同型を予想すること。

提案手法

• 固定されたニュートン多面体 Δ を持つローラン多項式で定義されるアフィン超曲面のコンパクト化として、トーリック多様体 P_Δ 内のCalabi-Yau超曲面の族 F(Δ) を定義する。
• 特異点が被覆するトーリック多様体由来であることを保証するため、Δ-正則性を導入し、F(Δ) のすべての成員を同時に解消可能にする。
• 双対多面体 Δ* ⊂ N_Q も反射的であるような多面体 Δ ⊂ M_Q を反射的多面体と定義し、Δ ↦ Δ* の対合を誘導する。
• 反射的多面体の極双対性を通じて、F(Δ) → F(Δ*) への鏡写像 MIR を構成する。
• 格子双対性と商構成を用いて、反射的単体からCalabi-Yau超曲面の基本群を計算する。
• 重み付き射影空間に適用し、フェルマー型超曲面とその商が反射的単体から自然に生じることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 Calabi-Yau 3-fermion の鏡対称性は、重み付き射影空間を越えて、任意のトーリック多様体へどのように一般化できるか？
• RQ2 ニュートン多面体にどのような組合せ的条件を課すと、その関連超曲面がCalabi-Yauであることが保証されるか？
• RQ3 反射的多面体 Δ とその極双対 Δ* 間の双対性は、ホッジ数の観点から鏡対称性の対応を誘導するか？
• RQ4 重み w を持つ反射的単体 Δ から得られるCalabi-Yau超曲面の基本群は何か？ また、その被覆する重み付き射影空間の重みとどのように関係するか？
• RQ5 極双対性による鏡対の構成は、完全交差や他のトーリックコンパクト化へ拡張可能か？

主な発見

• 反射的多面体 Δ とその極双対 Δ* 間の双対性 Δ ↦ Δ* は、ホッジ数 h^{1,1} と h^{2,1} を交換する鏡写像 MIR: F(Δ) → F(Δ*) を誘導し、物理的鏡対称性の予想を満たす。
• 重み付き射影空間内のCalabi-Yau 3-fermion の既知のすべての鏡対は、この構成の特別な場合である。
• Δ が反射的単体であるとき、P_Δ 内のCalabi-Yau超曲面の族 F(Δ) は、フェルマー型超曲面の変形からなる。
• 重み w を持つ反射的単体 Δ の基本群 π₁(Δ) は、(μ_{d₀} × ⋯ × μ_{dₙ})/μ_d から μ_d への全射準同型の核に同型である。ここで d_i = b_{ii} + 1 である。
• 基本群 π₁(Δ) の位数は、d₀d₁⋯dₙ / d² で与えられ、ここで d = lcm{d₀, ..., dₙ} である。
• n = 4 の場合、この構成は、重み付き射影空間 P(w₀, ..., w₄) 内のCalabi-Yau 3-fermion におけるRoanの結果を回復し、F(Δ) が π₁(Δ, M) によるフェルマー型超曲面の商からなることを示す。