[論文レビュー] Examples of topological spaces with arbitrary cohomology jump loci

Botong Wang|arXiv (Cornell University)|Mar 31, 2013

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 3被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、複素トーラス上のローレンツ多項式に基づく幾何的構成を用いて、任意に指定されたコホモロジージャンプlocusを有する有限CW複体を構成する。主な結果として、任意の$
\mathbb{Z}$上定義された部分多様体$Z \subset (\mathbb{C}^*)^n$と任意の$k$に対して、$
\Sigma^k(M) = Z \cup \{\mathds{1}\}$を満たし、すべての低次のジャンプlocusが自明であるような有限CW複体$M$が存在することを示しており、これは特異的かつ高次ホモトピー型に起因する障害が、準射影的多様体に実際に存在することを示している。

ABSTRACT

Given any subvariety of a complex torus defined over $\mathbb{Z}$ and any positive integer $k$, we construct a finite CW complex $X$ such that the $k$-th cohomology jump locus of $X$ is equal to the chosen subvariety, and the $i$-th cohomology jump loci of $X$ are trivial for $i

研究の動機と目的

• 与えられた複素トーラスの部分多様体を、有限CW複体の$k$番目のコホモロジー・ジャンプ・ローカスとして実現すること。
• 滑らかな複素準射影的多様体のコホモロジー・ジャンプ・ローカスが、位相的性質に加え、高次ホモトピー型によって制約されることを示すこと。
• 既存の文献における結果を拡張し、特徴的多様体を所望のものに合わせて構成する自己完結的な方法を提供すること。
• 多様体$Z$が部分トーラスのねじれ平行移動の和集合でない限り、このような例が任意の準射影的多様体とホモトピー$k$-同値でないことを示すこと。

提案手法

• 実トーラス$M_0 = (S^1)^n$を出発点とし、基点に$k$-球面を付加して$M_1$を構成。これにより、$\mathbb{Z}^n$作用を伴う普遍被覆$N_1$が得られる。
• 目標となる部分多様体$Z$を定義する各ローレンツ多項式$f_i$に対して、$N_1$に$(k+1)$-セルを付加し、その境界が$f_i$の係数によって定まる$H_k(N_1, \mathbb{Z})$内のサイクルを表すようにする。
• すべての$\mathbb{Z}^n$-平行移動に整合する形で、セルを付加して総被覆$N_2$を構成。このときガロア作用を保存する。
• この$\mathbb{Z}^n$作用による商を取ることで、有限CW複体$M$を構成。このとき、$
  \pi_1(M) \cong \mathbb{Z}^n$となり、$L(M) \cong (\mathbb{C}^*)^n$となる。
• 群環$\mathbb{Z}[x_1, x_1^{-1}, \dots, x_n, x_n^{-1}]$上のアレクサンダー加群を用いて、$\mathrm{Alex}(G_3) \cong \mathrm{Alex}(G_2) \otimes_R R/(f_1, \dots, f_r)$のモジュールの台を介してコホモロジー・ジャンプ・ローカスを計算する。
• このモジュールの台がちょうど$Z$であることを示し、したがって$\Sigma^k(M) = Z \cup \{\mathds{1}\}$となる。また、$N_1$の$(k-1)$-連結性により、低次のlocusは自明である。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 任意の$k \geq 1$に対して、任意に指定された$\mathbb{Z}$上定義の部分多様体$Z \subset (\mathbb{C}^*)^n$が、有限CW複体の$k$番目のコホモロジー・ジャンプ・ローカスとして実現可能か。
• RQ2 所望のコホモロジー・ジャンプ・ローカスを持つ空間が、準射影的多様体とホモトピー同値でない場合に、その背後にあるホモトピー論的障害は何か。
• RQ3 アレクサンダー加群の構造が、生成された空間のコホモロジー・ジャンプ・ローカスをどのように記述するか。
• RQ4 コホモロジー・ジャンプ・ローカスが、特に$k \geq 2$の次数において、空間のホモトピー型にどの程度依存するか。
• RQ5 有限アーベル群を含む$L(M)$のキャラクター群に一般化することは可能か。

主な発見

• 任意の$\mathbb{Z}$上定義の部分多様体$Z \subset (\mathbb{C}^*)^n$と任意の$k \geq 1$に対して、$\Sigma^k(M) = Z \cup \{\mathds{1}\}$かつ$i < k$のすべての$i$に対して$\Sigma^i(M)$が自明であるような有限CW複体$M$が存在する。
• 構成された空間$M$は実トーラス$(S^1)^n$とホモトピー$(k-1)$-同値であるが、$Z$が部分トーラスのねじれ平行移動の和集合でない限り、任意の準射影的多様体とホモトピー$k$-同値でない。
• コホモロジー・ジャンプ・ローカス$\Sigma^k(M)$は、$Z$を定義するローレンツ多項式$f_1, \dots, f_r$の零点集合に正確に一致する。これはアレクサンダー加群$\mathrm{Alex}(G_3)$の台を介して示された。
• アレクサンダー加群$\mathrm{Alex}(G_3)$は、$R = \mathbb{Z}[x_1, x_1^{-1}, \dots, x_n, x_n^{-1}]$として、$\mathrm{Alex}(G_2) \otimes_R R/(f_1, \dots, f_r)$に同型であり、その台は正確に$Z$である。
• $M_0$を$M_0 \times Y$に置き換え、ここで$Y$は有限アーベル群$A$の$K(A,1)$空間であり、群環を適切に調整することで、$L(M)$に有限アーベル群を含む一般化が可能である。
• この結果により、準射影的多様体のコホモロジー・ジャンプ・ローカスが高次ホモトピー型によって制約されることを確認した。構成された例はローカス条件を満たしているが、任意の準射影的多様体と$k$-同値でないため、その障害は本質的である。