[論文レビュー] Exceptional collections on 2-adically uniformised fake projective planes

Najmuddin Fakhruddin|arXiv (Cornell University)|Oct 11, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 5被引用数 9

ひとこと要約

本稿は、2-adically に均一化され、ねじれなし被覆群を持つ3つのフェイク射影平面の上に、長さ3の例外的集合（3つのラインバンドルからなる）を構成する。特異ファイバー 𝔽₂ 上でのスペクトル系列とコホモロジー計算を用い、右直交部分カテゴリのホッフハルド・コホモロジーを計算し、それがホモロジーが自明な準幻想カテゴリ（quasiphantom category）であることを示した。さらに、このようなカテゴリのK₀群とねじれの関係を結ぶ予想を提示し、ブロッハ予想の進展に寄与する可能性を示唆している。

ABSTRACT

We show that there exist exceptional collections of length 3 consisting of line bundles on the three fake projective planes that have a 2-adic uniformisation with torsion free covering group. We also compute the Hochschild cohomology of the right orthogonal of the subcategory of the bounded derived category of coherent sheaves generated by these exceptional collections.

研究の動機と目的

• 2-adically に均一化され、ねじれなし被覆群を持つフェイク射影平面の、連続層の有界導来カテゴリにおける最大長（3）の例外的集合の存在を確立すること。
• このような例外的集合に対する右直交部分カテゴリのホッフハルド・コホモロジーを計算し、それが準幻想カテゴリであることを同定すること。
• 準幻想カテゴリのK₀群に関する予想を提示することで、p_g = 0 の曲面におけるゼロサイクルに関するブロッハ予想への証拠を提供すること。
• Spec(ℤ₂) 上の正則な固有モデルの存在とコホモロジー的特殊化を活用し、ℤ₂ 上の明示的な幾何に計算を還元すること。
• 以前に必要とされていたと予想されていた canonical バンドルの立方根の存在という条件が、このような集合に対して実際に余分であるかどうかを検討すること。

提案手法

• ムスタフィンとクリハラによって構成された ℤ₂ 上の形式的スキームモデルを用い、特異ファイバーが ℙ²_𝔽₂ の有理点での吹き上げと同型である、Spec(ℤ₂) 上の正則固有モデルを備える。
• グロタンディークの存在定理を用いて、特異ファイバーから一般ファイバーへのラインバンドルおよびコホモロジー類の持ち上げを行い、降下の議論を可能にする。
• クズネツォフが考案した、適応部分カテゴリのホッフハルド・コホモロジーのスペクトル系列を用い、例外的集合の特定の構造により E₁ で退化する。
• フェイク射影平面上のラインバンドルのコホモロジー群の計算を、Galois理論的特殊化と PGL₃(ℤ₂) の作用を用いて、ℙ²_𝔽₂ 上での明示的計算に還元する。
• 例外的集合における Ext 群の双対性を用い、ℙ² で観察されるコホモロジー的パターンを再現し、対称性とセレール双対性を介した次元計算を可能にする。
• ホッフハルド・コホモロジーの制限写像の関手的性質と、構造層の既知の事例を用いて、HH⁴(ℬ, 𝒟ᵇ(M)) から HH⁴(𝒟ᵇ(M)) への写像の全射性を証明する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 2-adically に均一化され、ねじれなし被覆群を持つフェイク射影平面の、有界導来カテゴリにおける長さ3の例外的集合は存在するか？
• RQ2 このような例外的集合に対する右直交部分カテゴリのホッフハルド・コホモロジーは何か？ そしてホモロジーは消えるか？
• RQ3 このような例外的集合の存在が、p_g = 0 の曲面におけるゼロサイクルに関するブロッハ予想に近づく手がかりとなるか？
• RQ4 最大長の例外的集合の存在にあたり、canonical バンドルの立方根の存在という条件は必要不可欠なものか、それとも緩和可能か？
• RQ5 これらの曲面上のラインバンドルのコホモロジー的構造は、特殊化とGalois降下を用いて、ℙ²_𝔽₂ 上での明示的計算に還元可能か？

主な発見

• 2-adically に均一化され、ねじれなし被覆群を持つ3つのフェイク射影平面それぞれについて、𝒟ᵇ(M) 内にラインバンドルからなる長さ3の例外的集合が存在する。
• この例外的集合に対する右直交部分カテゴリ 𝒜 は、ホモロジーが自明な準幻想カテゴリである：すべての n に対して HHₙ(𝒜) = 0。
• 𝒜 のホッフハルド・コホモロジーの次元は (0,0,0,0,30,54,27,0,0,…) であり、例外的集合の Ext 群に対する退化するスペクトル系列を用いて計算された。
• スペクトル系列は、特定の非自明な Ext 群のパターンに起因し、これらは 𝔽₂ 上の特異ファイバーにおけるコホモロジー計算により決定されるため、E₁ で退化する。
• HH⁴(ℬ, 𝒟ᵇ(M)) から HH⁴(𝒟ᵇ(M)) への写像は全射であり、これにより、完全導来カテゴリの既知のホッフハルド・コホモロジーから HH•(𝒜) を完全に計算可能である。
• 著者らは、任意の準幻想部分カテゴリに対して K₀(𝒜) がねじれ群であると予想しており、これが真であれば、これらのフェイク射影平面におけるブロッハ予想が示唆される。