[論文レビュー] Hochschild homology and semiorthogonal decompositions

Alexander Kuznetsov|ArXiv.org|Apr 28, 2009

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 17被引用数 77

ひとこと要約

本論文は、滑らかで射影的多様体の係数の有理的層の導来カテゴリの適切な部分カテゴリに対して、Hochschildコホモロジーおよびホモロジーの幾何的解釈を確立する。これらの不変量が、射影関手の核とそのSerre関手核との畳み込みを含む導来射影の同型であることを証明し、Hochschildホモロジーが半直交分解に関して加法的であることを示し、ファノ3次元多様体および円錐バンドルへの重要な応用を含む。

ABSTRACT

We investigate Hochschild cohomology and homology of admissible subcategories of derived categories of coherent sheaves on smooth projective varieties. We show that the Hochschild cohomology of an admissible subcategory is isomorphic to the derived endomorphisms of the kernel giving the corresponding projection functor, and the Hochschild homology is isomorphic to derived morphisms from this kernel to its convolution with the kernel of the Serre functor. We investigate some basic properties of Hochschild homology and cohomology of admissible subcategories. In particular, we check that the Hochschild homology is additive with respect to semiorthogonal decompositions and construct some long exact sequences relating the Hochschild cohomology of a category and its semiorthogonal components. We also compute Hochschild homology and cohomology of some interesting admissible subcategories, in particular of the nontrivial components of derived categories of some Fano threefolds and of the nontrivial components of the derived categories of conic bundles.

研究の動機と目的

• 有理的層の導来カテゴリの適切な部分カテゴリに対するHochschildコホモロジーおよびホモロジーの幾何的で核に基づく解釈を提供すること。
• 導来カテゴリの半直交分解に関してHochschildホモロジーの加法性を確立すること。
• カテゴリのHochschildコホモロジーとその半直交成分との関係を示す長完全系列を構成すること。
• ファノ3次元多様体および円錐バンドルの導来カテゴリの非自明な成分のHochschild不変量を計算すること。
• 非自明性予想を提示し、検証すること。この予想は、自明なHochschildホモロジーがカテゴリの自明性を意味すると述べるものである。

提案手法

• 適切な部分カテゴリ $\mathcal{A} \subset \mathcal{D}^b(X)$ への射影関手を表す核 $P \in \mathcal{D}^b(X \times X)$ を用いる。
• Hochschildコホモロジーを $\mathsf{HH}^\bullet(\mathcal{A}) \cong \mathop{\mathsf{Hom}}\nolimits^{\bullet}_{X \times X}(P, P)$ として定義する。
• Hochschildホモロジーを $\mathsf{HH}_\bullet(\mathcal{A}) \cong \mathbf{H}^\bullet(X \times X, P \otimes P^\mathsf{T}) \cong \mathop{\mathsf{Hom}}\nolimits^{\bullet}(P, P \otimes p_2^* \omega_X[\dim X])$ として定義する。
• 生成子 $\mathcal{E}_\mathcal{A}$ を持つ $\mathcal{A}$ のDG代数 $C^\bullet = \mathop{\mathsf{RHom}}\nolimits^\bullet(\mathcal{E}_\mathcal{A}, \mathcal{E}_\mathcal{A})$ を用いて、適切な部分カテゴリのDG強化を活用する。
• HKR同型とハイパーセミコホモロジー計算を用いて、Hodgeおよび多ベクトル場を用いた $\mathsf{HH}_\bullet$ および $\mathsf{HH}^\bullet$ の明示的公式を導出する。
• 転置核 $P^\mathsf{T}$ と基底変換定理を用い、$\Delta^*P$ および $\Delta^!P$ を標準的および余接バンドルの層コホモロジーに関連付ける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 DG代数に依存せずに、適切な部分カテゴリのHochschildコホモロジーおよびホモロジーを幾何的にどのように表現できるか。
• RQ2 導来カテゴリの半直交分解に関して、Hochschildホモロジーは加法的か。
• RQ3 カテゴリのHochschildコホモロジーとその半直交成分のコホモロジーを関係付ける長完全系列を構成できるか。
• RQ4 ファノ3次元多様体および円錐バンドルの導来カテゴリの非自明な適切な部分カテゴリの明示的Hochschildホモロジーおよびコホモロジー群は何か。
• RQ5 非自明性予想が示唆するように、Hochschildホモロジーの消滅はカテゴリの自明性を意味するか。

主な発見

• 適切な部分カテゴリ $\mathcal{A} \subset \mathcal{D}^b(X)$ のHochschildコホモロジーは、$\mathop{\mathsf{Hom}}\nolimits^{\bullet}_{X \times X}(P, P)$ に同型であり、ここで $P$ は $\mathcal{A}$ への射影関手の核である。
• Hochschildホモロジーは $\mathbf{H}^\bullet(X \times X, P \otimes P^\mathsf{T})$ に同型であり、これは $\mathop{\mathsf{Hom}}\nolimits^{\bullet}(P, P \otimes p_2^* \omega_X[\dim X])$ に等しい。
• Hochschildホモロジーは半直交分解に関して加法的である：$\mathcal{D}^b(X) = \langle \mathcal{A}_1, \dots, \mathcal{A}_n \rangle$ ならば、$\mathsf{HH}_\bullet(X) \cong \bigoplus_{i=1}^n \mathsf{HH}_\bullet(\mathcal{A}_i)$ である。
• 相対次元 $n$ の円錐バンドル $f: X \to Y$ に対して、非自明成分 $\mathcal{A}_X$ のHochschildホモロジーは $\bigoplus_{p=0}^{n-1} R^1f_* \Omega^p_X[p-1]$ に同型であり、Hochschildコホモロジーは $\bigoplus_{p=0}^n \ker(\Lambda^p T_Y \to i_* (\Lambda^{p-1} T_D \otimes \mathcal{N}_{D/Y}))$ に同型である。
• 非自明性予想は成立する：適切な部分カテゴリ $\mathcal{A} \subset \mathcal{D}^b(X)$ に対して $\mathsf{HH}_\bullet(\mathcal{A}) = 0 $ ならば、$\mathcal{A} = 0$ である。このことは、例外的コレクションの完全性および適切な部分カテゴリの増大列の安定化に応用される。
• 系として、すべてのコホモロジー類が代数的である滑らかで射影的多様体 $X$ に対して、$\dim_{\mathbb{Q}} H^\bullet(X, \mathbb{Q})$ の長さの例外的コレクション $E_1, \dots, E_n$ が完全である、すなわち $\mathcal{D}^b(X) = \langle E_1, \dots, E_n \rangle$ である。