[論文レビュー] Exceptional geometry and tensor fields

Martin Cederwall, Joakim Edlund+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 27, 2013

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 13被引用数 17

ひとこと要約

本稿は、例外的群 $E_n(n)$ に基づく例外的一般化幾何学のための普遍的かつ共変なテンソル計算を構築し、$n \leq 7$ のすべての $n$ において接続、 torsion（ねじれ）、曲率を統一的に扱う。テンソルゲージ場を $R_k$ モジュールに変換するものとして導入し、微分形式に類似した性質を持たせ、その力学的性質と自己双対性条件を確立し、例外的場理論における最大超対称重力および拡張超多重項の幾何的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We present a tensor calculus for exceptional generalised geometry. Expressions for connections, torsion and curvature are given a unified formulation for different exceptional groups E_n(n). We then consider "tensor gauge fields" coupled to the exceptional generalised gravity. Many of the properties of forms on manifolds are carried over to these fields.

研究の動機と目的

• すべての $n \leq 7$ に対して有効な、普遍的かつ共変な例外的一般化幾何学のテンソル計算を構築すること。これは、従来の研究が $n=4$ に限定されていたのを拡張するものである。
• 一般化微分同相変換と整合するように、$E_n(n)$-共変な方法で接続、ねじれ、曲率を統一的に定式化すること。
• 微分形式に類似した $R_k$ モジュールに変換するテンソルゲージ場を導入し、その力学的性質と自己双対性の性質を記述すること。
• 非重力的テンソル場を例外的一般化重力に結合するための幾何的枠組みを確立し、最大超対称重力における超多重項の構成を可能にする。

提案手法

• 不変テンソル $Y^{MN}_{PQ}$ を用いてテンソルに作用する一般化Lie微分を導出し、一般化微分同相変換の代数的性質を記述し、セクション条件 $Y^{MN}_{PQ} \partial_M \otimes \partial_N = 0$ を満たす。
• リー代数 $\mathfrak{e}_n(n) \oplus \mathbb{R}$ に値をとるアフィン接続 $\Gamma^{MN}_P$ を導入し、共変微分 $D_M = \partial_M + \Gamma_M$ を定義することで、一般化微分同相変換下でのテンソル的変換性を保証する。
• 共変微分の交換子を用いて曲率およびねじれテンソルを定義し、すべての $n \leq 7$ に対して明示的に $E_n(n)$-共変かつ一貫性のある表現を得る。
• $E_n(n)$ の表現として変換する $G$-モジュールの無限列 $\{R_k\}$ を特定し、微分形式の一般化として機能するテンソルゲージ場を支える。
• セクション条件を適用して一般化幾何学を物理的時空に還元し、$n$ 個の物理的次元を選び、場を $R_k$ モジュールに射影する。
• 次元削減と二項係数の数え上げを用いて、$R_k^{(n)}$ 場が $R_k^{(n-1)}$ 場および $R_{k+1}^{(n-1)}$ 場を生成することを示し、形式場の還元に類似した構造を再現する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 すべての $n \leq 7$ に対して、例外的一般化幾何学のための普遍的かつ $E_n(n)$-共変なテンソル計算をどのように構築できるか？
• RQ2 例外的場理論における接続、ねじれ、曲率の正しい共変表現は何か？ これは、従来の $n=4$ の結果を統合するものでなければならない。
• RQ3 テンソルゲージ場は一般化微分同相変換の下でどのように変換するのか？ 一般化多様体におけるその幾何的役割は何か？
• RQ4 $R_k$ モジュールがテンソル場を支える役割を果たす意義は何か？ 通常の幾何学における微分形式とはどのように関係するか？
• RQ5 テンソル場の力学的性質を例外的一般化重力に一貫して結合できるか？ これは最大超対称重力とどのように関係するか？

主な発見

• すべての $n \leq 7$ に対して有効な普遍的かつ $E_n(n)$-共変なテンソル計算が構築され、$n=4$ に限定されていた先行研究を拡張した。
• 一般化Lie微分は、不変テンソル $Y^{MN}_{PQ}$ を用いて、通常の微分同相変換とテンソルゲージ変換を統合する形に表現され、各 $n$ に対して明示的な係数 $\alpha_n$ と $\beta_n$ を持つ。
• 曲率およびねじれテンソルは明示的な共変な形で導出され、非線形恒等式 $Z^{MN}_{TQ}Z^{TP}_{RS} + Z^{MP}_{RQ}\delta^S_N = 0$ により代数的閉包が保証される。
• テンソルゲージ場は $R_k$ モジュールのセクションとして導入され、微分形式に類似した性質を持ち、自己双対性条件を支える。
• 最大超対称性の下で、$R_k$ 場から得られるボソン的自由度の総数は、スカラー商空間の128次元表現と一致し、$n=4,5,6,7$ に対してそれぞれ98、101、100、94の数を示す。
• 次元削減により、$R_k^{(n)}$ 場が $R_k^{(n-1)}$ 場および $R_{k+1}^{(n-1)}$ 場を生成することが示され、二項係数に類似した数え上げが成り立つ。これにより、$R_k$ 列の形式的構造が裏付けられる。