[論文レビュー] Supergravity as Generalised Geometry II: $E_{d(d)} imes \mathbb{R}^+$ and M theory

André Coimbra, Charles Strickland‐Constable+1 more|arXiv (Cornell University)|Dec 7, 2012

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 37被引用数 39

ひとこと要約

この論文は、11次元超重力理論を一般化幾何学へと拡張し、$E_{d(d)} \times \mathbb{R}^+$ 構造群と局所的 $ ilde{H}_d$ 対称性を用いて記述することで、一般化リーマン接続 $D$ を通じてボソン的およびフェルミオン的場を統一する。主な結果として、重力フェルミオン $ olimits\psi$ およびスピン3/2場 $ olimits\rho$ の運動方程式が $\not{D}\psi + \frac{11-d}{9-d}D\!\!\curlywedge\!\rho = 0$ および $D\!\!\curlyvee\!\psi + \not{D}\rho = 0$ とコン pact に表現され、$d=4$ および $d=7$ に対して $ ilde{H}_4 = Spin(5)$ および $ ilde{H}_7 = SU(8)$ 表現を用いて明示的な形が与えられる。

ABSTRACT

We reformulate eleven-dimensional supergravity, including fermions, in terms of generalised geometry, for spacetimes that are warped products of Minkowski space with a $d$-dimensional manifold $M$ with $d\leq7$. The reformation has a $E_{d(d)} imes \mathbb{R}^+$ structure group and is has a local $ ilde{H}_d$ symmetry, where $ ilde{H}_d$ is the double cover of the maximally compact subgroup of $E_{d(d)}$. The bosonic degrees for freedom unify into a generalised metric, and, defining the generalised analogue $D$ of the Levi-Civita connection, one finds that the corresponding equations of motion are the vanishing of the generalised Ricci tensor. To leading order, we show that the fermionic equations of motion, action and supersymmetry variations can all be written in terms of $D$. Although we will not give the detailed decompositions, this reformulation is equally applicable to type IIA or IIB supergravity restricted to a $(d-1)$-dimensional manifold. For completeness we give explicit expressions in terms of $ ilde{H}_4=\mathit{Spin}(5)$ and $ ilde{H}_7=\mathit{SU}(8)$ representations for $d=4$ and $d=7$.

研究の動機と目的

• 11次元超重力理論に $d \leq 7$ に対して明示的な $E_{d(d)} \times \mathbb{R}^+$ 対称性を持つ一般化幾何学を拡張すること。
• 重力フェルミオン $\psi$ およびスピン3/2場 $\rho$ のフェルミオン自由度を一般化幾何学的枠組みに組み込むこと。
• 超対称代数およびフェルミオンの運動方程式が一般化接続 $D$ に自然に埋め込まれていることを示すこと。
• $\tilde{H}_4 = Spin(5)$ および $\tilde{H}_7 = SU(8)$ 表現を用いて、$d=4$ および $d=7$ に対する形式の明示的実現を提供すること。

提案手法

• 一般化計量 $G$ を用いてボソン的領域を定式化し、ねじれのない、計量に相性の良い一般化接続 $D$ を導入し、運動方程式は一般化リッチテンソル $R_{AB} = 0$ の消滅によって与えられる。
• $\tilde{H}_d$-共変な演算子 $\not{D}$, $D\!\!\curlywedge$, および $D\!\!\curlyvee$ を定義し、これらは一般化接続を $\psi$ および $\rho$ の表現に射影する。
• フェルミオンの運動方程式を $\not{D}\psi + \frac{11-d}{9-d}D\!\!\curlywedge\!\rho = 0$ および $D\!\!\curlyvee\!\psi + \not{D}\rho = 0$ として構成し、フェルミオンの高次の項を無視した一次近似で有効である。
• $E_{d(d)} \times \mathbb{R}^+$ 表現論を用いて場および接続を分解し、$d=4$ および $d=7$ に対して明示的な表現を導出する。
• スピンルーチンおよびテンソル射影を $\not{V}$, $V\!\!\curlywedge$, $V\!\!\curlyvee$ を用いて定義し、スピンルーチン $S^\pm$ およびランク $p$ のテンソル $J^\pm$ への作用を定義する。
• フェルミオンの力学および超対称性の変換が一般化接続 $D$ に完全に符号化されていることを検証し、局所的 $ ilde{H}_d$ 対称性が明示的に保たれることを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 11次元超重力理論は、$E_{d(d)} \times \mathbb{R}^+$ 対称性を明示的に持つ一般化幾何学でどのように再定式化できるか。
• RQ2 フェルミオン場 $\psi$ および $\rho$ は一般化接続 $D$ にどのように符号化されているか。
• RQ3 一般化幾何学的枠組みにおけるフェルミオンの運動方程式の形は何か。
• RQ4 $\tilde{H}_d$-共変な演算子 $D\!\!\curlywedge$ および $D\!\!\curlyvee$ は一般化接続を $\psi$ および $\rho$ の表現にどのように射影するか。
• RQ5 $\tilde{H}_4 = Spin(5)$ および $\tilde{H}_7 = SU(8)$ を用いた $d=4$ および $d=7$ に対して明示的な表現は何か。

主な発見

• 重力フェルミオン $\psi$ およびスピン3/2場 $\rho$ の運動方程式は、$\not{D}\psi + \frac{11-d}{9-d}D\!\!\curlywedge\!\rho = 0$ および $D\!\!\curlyvee\!\psi + \not{D}\rho = 0$ とコン pact に表現され、$D$ はねじれのない、計量に相性の良い一般化接続である。
• $d=7$ の場合、フェルミオンの運動方程式は $-\frac{1}{12}\epsilon_{\alpha\beta\gamma\delta\delta'\theta_1\theta_2\theta_3}D^{\delta\delta'}\psi^{\theta_1\theta_2\theta_3} + 2\bar{D}_{[\alpha\beta]}\bar{\rho}_{\gamma]} = 0$ および $-\frac{1}{2}\bar{D}_{\beta\gamma}\psi^{\alpha\beta\gamma} + D^{\alpha\beta}\bar{\rho}_{\beta} = 0$ に簡略化され、驚くほどコン pact な形をとる。
• 一般化接続 $D$ は超対称代数およびフェルミオンの力学を完全に符号化しており、$\tilde{H}_d$-共変な演算子により局所的対称性が明示的に保たれる。
• $\hat{\chi}^+ \times_{\text{ad}P^\perp} \hat{\chi}^-$ の像は、$\text{ad}P^\perp$ の $\tilde{H}_d$ スカラー部に含まれ、結果として $\frac{2}{9-d}\bar{\hat{\chi}}^-\hat{\chi}^+$ が得られる。
• $\not{V}$, $V\!\!\curlywedge$, および $V\!\!\curlyvee$ のスピンルーチンおよびテンソルへの作用は明示的に計算され、$\Gamma$-行列、スピン接続 $\omega_{ab}$、および場強度 $\sigma_{a_1\dots a_5}$, $\tau_{a,b_1\dots b_7}$ を含む成分が現れる。
• この形式は、$(d-1)$ 次元多様体上の型IIAおよびIIB超重力理論へも拡張可能であり、同じ一般化幾何学的構造と $D$-に基づく運動方程式を有する。