[論文レビュー] Excited random walks: results, methods, open problems

Elena Kosygina, Martin Zerner|arXiv (Cornell University)|Apr 9, 2012

Stochastic processes and statistical mechanics参考文献 48被引用数 18

ひとこと要約

本稿は、d次元整数格子上の励起ランダムウォーク（ERW）の包括的サーベイを提供し、i.i.d. または stationarity なクッキー環境下での再帰性、非再帰性、スケーリング極限を分析する。非再帰的一次元ERWに関して、新しい関数極限定理を確立し、ゼロ-ワン法則を証明することで、クッキー・スタックと再生構造を用いた記憶を持つ自己相互作用ランダムウォークの統一的枠組みを提供する。

ABSTRACT

We consider a class of self-interacting random walks in deterministic or random environments, known as excited random walks or cookie walks, on the d-dimensional integer lattice. The main purpose of this paper is two-fold: to give a survey of known results and some of the methods and to present several new results. The latter include functional limit theorems for transient one-dimensional excited random walks in bounded i.i.d. cookie environments as well as some zero-one laws. Several open problems are stated.

研究の動機と目的

• 励起ランダムウォーク（ERW）理論における既知の結果と主要な手法をサーベイすること、これはクッキー・スタックによって記録される記憶を持つ自己相互作用ランダムウォークのクラスである。
• 有界i.i.d. クッキー環境下での非再帰的一次元ERWに対して、新しい関数極限定理を提示すること。
• ERWモデルにおける再帰性と非再帰性に関してゼロ-ワン法則を確立すること。
• 特に、クエンチド中心極限定理と大偏差に関する未解決問題を特定し、明示すること。
• 再生構造と分岐過程の技法を用いてERWの理解を統一的かつ拡張すること、特に非再帰的領域において。

提案手法

• 各サイトにおける局所時間に依存する遷移確率を持つ離散時間ランダムウォークとしてERWをモデル化し、i.i.d. または stationarity なクッキーのスタックを用いる。
• 確率測度Pがクッキー環境の空間に定義されたとき、環境ωから生成されるクエンチド測度P_{x,ω}と平均化測度P_xを用いて、パスの挙動を分析する。
• 再生構造を用いて、ウォークをi.i.d. サイクルに分解し、再生理論と極限定理の適用を可能にする。
• 分岐過程を用いて、非再帰的ERWにおける最大局所時間と尾挙動を分析する。特に、力学的（δ > 2）および非力学的（δ ∈ (1,2]）の領域において。
• Lindeberg-Feller中心極限定理を適用し、確率的センターイングを伴う特定のi.i.d. クッキー条件の下でクエンチドCLT結果を導出する。
• 平均化測度P_0に対して大偏差原理（LDP）を適用し、力学的ウォーク（δ > 2）では[0,v]上で消失するレート関数I(x)を導出し、対数的尾部減衰率を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 有界i.i.d. クッキー環境下での一次元励起ランダムウォークが、クエンチド測度の下で関数中心極限定理を満たす条件は何か？
• RQ2 再帰性または非再帰性がゼロ-ワン法則に従う条件は何か？
• RQ3 非i.i.d. またはスタック内クッキーが非i.i.d. な環境下でのERWに対して、クエンチド中心極限定理を確立できるか？
• RQ4 非再帰的ERWにおける最大局所時間ξ_n^*の漸近的挙動はどのように振る舞い、パrameter δに依存するか？
• RQ5 平均化測度下でのウォークの速度に関する正確な大偏差レート関数I(x)は何か？そして、これは力学的と非力学的挙動をどのように反映するか？

主な発見

• 有界i.i.d. クッキー環境下での非再帰的一次元ERWにおいて、適切なセンターイングとスケーリングを施した後、クエンチド測度の下で関数極限定理が成り立つ。収束先はブラウン運動である。
• 再帰性と非再帰性に関してゼロ-ワン法則が確立され、i.i.d. または stationarity かつエルゴード的クッキー環境下では、ウォークは確率1で再帰的または非再帰的であることが示された。
• 最大局所時間ξ_n^*は、すべてのα > 1/δに対してlim_{n→∞} ξ_n^* / (n^{1/(2∨δ)} (log n)^α) = 0 a.s. を満たし、逆数比は発散する。これはδ = 2で相転移が起こることを示唆する。
• δ > 2（力学的領域）では、P_0[X_n/n < x]の尾部減衰率はlog P_0[X_n/n < x] ∼ (1 - δ/2) log nとなり、δに依存するべき乗則的減衰を示す。
• 平均化測度P_0の下で、連続的かつ凸なレート関数I(x)を持つ大偏差原理が成り立ち、力学的ウォーク（δ > 2）では[0,v]上で消失する。
• 最初のクッキーが各サイトでウォークの増分分布を決定する退化したi.i.d. クッキー・モデルにおいて、ωに依存する確率的センターイングを伴うクエンチド中心極限定理が確立された。