[論文レビュー] Exercising in K-theory: Brane Condensation without Tachyon

Corneliu Sochichiu|ArXiv.org|Dec 29, 2000

Noncommutative and Quantum Gravity Theories参考文献 18被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、スカラー場を伴うp次元非可換ヤン・ミルズ模型と2次元模型の間におけるモラータ同値性を提案し、チラル・コンデンセーションを経由せずに、高次元非可換場の理論から低次元ゲージ力学が出現することを示している。同値性は、異なる非可換次元のヒルベルト空間間のユニタリ写像によって生じ、解はブレインのゼロサイズへの凝縮として解釈され、全場数とBPS安定性が保存される。

ABSTRACT

We show that the p-dimensional noncommutative Yang--Mills model corresponding to a (p-1)-brane allows solutions which correspond to lower branes. This may be interpreted as the Morita equivalence of noncommutative planes of various dimensions.

研究の動機と目的

• p次元非可換ヤン・ミルズ模型（d個のスカラー場を伴う）と、d+p−2個のスカラー場を伴う2次元模型との間の対応関係を確立し、全場数D=p+dを保存すること。
• この対応関係が、非可換平面を手動で変更することなく、異なる非可換次元のヒルベルト空間間のユニタリ同型写像によって生じることを示すこと。
• 得られた解を、ブレインの拡張がゼロサイズに収縮する凝縮過程として解釈し、チラル・コンデンセーションとは異なるものとする。
• K理論を用いて同値性を一般化し、非可換ゲージ模型間の任意の偶数次元写像を可能とすること。
• すべてのこのような模型が、分離可能なヒルベルト空間上に定義された背景依存のない演算子模型（式5）の摂動的領域であることを示すこと。

提案手法

• 振動子演算子を介してヘイゼンベルク代数の生成子を複素座標に写像することにより、d個のスカラー場を伴うp次元非可換U(1)ヤン・ミルズ模型における解を構成する。
• ワイル順序のスターフェイルド積と非可換場の演算子表現を用い、式(5)で表される背景依存のない形に作用を書き直す。これはヒルベルト空間上のエルミート演算子$X_M$を用いて表現される。
• ユニタリ写像を介して、ヒルベルト空間$\mathcal{H}_p$と$\mathcal{H}_2$の間の同型を確立し、異なる次元の非可換模型間のモラータ同値性を実現する。
• 同値モジュール$P \cong \mathrm{Hom}(\mathcal{H}_p, \mathcal{H}_2)$を定義し、解のモジュライ空間を無限次元ユニタリ群$\mathcal{U}(\mathcal{H}_p) \cong \mathcal{U}(\mathcal{H}_2)$と同型にする。
• K理論を用いて、任意の偶数次元非可換模型への同値性を一般化し、固有値格子の部分格子を張るプロジェクター解を含む。
• 同じ演算子模型（式5）を用い、1つのヒルベルト空間上で、すべてのこのような非可換ゲージ模型を、異なる解の周りの摂動展開として記述できることを示す。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 p次元非可換ヤン・ミルズ模型（スカラー場を伴う）は、チラルモードを導入せずに2次元模型と関係づけられるか？
• RQ2 非可換平面を変更せずに、非可換ゲージ理論におけるモラータ同値性はどのように実現されるか？
• RQ3 ヒルベルト空間の同型写像は、異なる次元の非可換模型間の同値性を確立する上で果たす役割は何か？
• RQ4 K理論は、任意の偶数次元非可換ゲージ模型への同値性をどのように一般化するか？
• RQ5 チラルコンデンセーションを経由せずに、ゼロサイズへのブレイン凝縮は実現可能か？ また、これは標準的なチラル・コンデンセーション機構とはどのように異なるか？

主な発見

• d個のスカラー場を伴うp次元非可換ヤン・ミルズ模型は、d+p−2個のスカラー場を伴う2次元模型と物理的に同等の解を有し、全場数D=p+dを保存する。
• 同値性は、p次元および2次元ヘイゼンベルク代数のヒルベルト空間間のユニタリ同型写像によって実現され、解のモジュライ空間は無限次元ユニタリ群$\mathcal{U}(\mathcal{H}_p)$と同型である。
• 解はチラルモードを有さないBPS安定状態に対応し、チラル・コンデンセーションを伴わないゼロサイズへのブレイン凝縮のメカニズムを示している。
• 凝縮過程は、ブレインの拡張がゼロサイズに収縮するものとして解釈されるのに対し、チラルコンデンセーションは有限サイズの低次元ブレインを生成する。
• K理論の枠組みにより、任意の偶数次元非可換模型への一般化が可能となり、固有値格子の部分格子を張るプロジェクター解を含む。
• すべてのこのような非可換ゲージ模型は、1つの背景依存のない演算子模型（式5）の摂動的領域であり、分離可能なヒルベルト空間上に定義される。異なる次元における異なる正規化行動は、根本的な違いではなく、異なる展開点に起因する。