[論文レビュー] Existence and concentration of positive solutions for a logarithmic Schrödinger equation via penalization method

Claudianor O. Alves, Chao Ji|arXiv (Cornell University)|Jun 18, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用数 4

ひとこと要約

本稿では、局所的条件を満たすポテンシャル $ V(x) $ を持つ対数的シュレーディンガー方程式に対して、ペナルティ法を用いて正の解の存在および濃縮を確立する。デル・ピノとフェルメールの技術を適応することで、$ \epsilon \to 0 $ のとき解が $ V $ の最小点に濃縮することを証明し、コンパクト性の欠如および関連エネルギー汎関数の滑らかでない性質に起因する技術的困難を克服する。

ABSTRACT

In this article we are concerned with the following logarithmic Schrödinger equation $$ \left\{ \begin{array}{lc} -ε^2Δu+ V(x)u=u \log u^2, & \mbox{in} \,\, \mathbb{R}^{N}, \\ %u(x)>0, & \mbox{in} \quad \mathbb{R}^{N} \\ u \in H^1(\mathbb{R}^{N}), & \; \\ \end{array} ight. $$ where $ε>0, N \geq 1$ and $V:\mathbb{R}^{N} ightarrow \mathbb{R}$ is a continuous potential. Under a local assumption on the potential $V$, we use the variational methods to prove the existence and concentration of positive solutions for the above problem.

研究の動機と目的

• 対数的シュレーディンガー方程式に対して、局所的条件を満たすポテンシャル $ V(x) $ を持つ正の解の存在を確立すること。
• $ \epsilon \to 0 $ のとき解が $ V $ の最小点に濃縮することを証明し、グローバル仮定を超えた結果を拡張すること。
• $ H^1(\mathbb{R}^N) $ における対数的エネルギー汎関数の滑らかでない・定義されていない性質に起因する技術的困難を克服すること。

提案手法

• デル・ピノとフェルメールのペナルティ法を、非線形項 $ u \log u^2 $ を持つ対数的シュレーディンガー方程式に適応する。
• 変数変換を用いて元の問題を変分解析に適した形に変換する。
• ペナルティ問題に対して変分法を適用し、$ H^1(\mathbb{R}^N) $ 内に臨界点の存在を証明する。
• モーザー反復法と被覆議論を用いて、解の列に対する一様な $ L^\infty $ 界を確立する。
• 解のスケーリングされた最大点が $ V $ の最小点に収束することを示すことにより、濃縮を証明する。
• 部分列の議論と $ V $ の連続性を用いて、濃縮点が $ V(y_0) = V_0 $ を満たすことを結論づける。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 ポテンシャル $ V(x) $ にどのような条件を課すと、対数的シュレーディンガー方程式に対して正の解が存在するか？
• RQ2 滑らかでない・定義されていないエネルギー汎関数を生じる対数的非線形性を扱うために、ペナルティ法をどのように適応できるか？
• RQ3 グローバル仮定ではなく局所的仮定のもとでも、$ \epsilon \to 0 $ のとき解が $ V $ の局所的最小点に濃縮するか？
• RQ4 対数的成長を伴うペナルティ問題の解に対して、一様な $ L^\infty $ 界をどのように確立できるか？
• RQ5 $ \epsilon \to 0 $ のとき、解の最大点の漸近的挙動はいかなるものか？

主な発見

• 著者らは、局所的仮定 (V2) と $ V_0 > -1 $ の下で、すべての $ \epsilon > 0 $ に対してペナルティ問題の正の解 $ u_\epsilon $ の存在を証明する。
• $ \epsilon \to 0 $ のとき、解は $ V $ のグローバルな下界 $ V_0 $ を達成する点 $ y_0 \in \Lambda $ に濃縮する。
• スケーリングされた解 $ v_\epsilon(x) = u_\epsilon(x/\epsilon) $ の最大点は、$ V(y_0) = V_0 $ を満たす点に収束し、$ V $ の最小点における濃縮を確認する。
• モーザー反復法と被覆議論を用いて、解の列 $ u_\epsilon $ に対する一様な $ L^\infty $ 界を確立し、解が有界に保たれることを保証する。
• 最大点が固定された球内に $ y_n $ の周囲に存在する部分列の議論に依拠し、$ \epsilon y_n \to y_0 $ かつ $ V(y_0) = V_0 $ を満たす。
• 従来のグローバル仮定（例：ラビノヴィッツ）に基づく存在および濃縮結果を、局所的仮定へと拡張し、ペナルティ法の対数的シュレーディンガー方程式への適用範囲を広げた。