[論文レビュー] Existence and multiplicity of solutions for a class of Choquard equations with Hardy-Littlewood-Sobolev critical exponent

Fashun Gao, Minbo Yang|arXiv (Cornell University)|May 17, 2016

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 31被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、有界領域におけるHardy-Littlewood-Sobolev臨界指数を有する非線形Choquard方程式の解の存在および多重性を、変分法を用いて確立する。非線形項 $ f(u) $ に適切な条件下で、非自明な解が少なくとも1つ存在することを証明し、追加の仮定のもとで、臨界点理論および濃縮・コンパクトネスの議論を用いて複数の解が存在することを示す。

ABSTRACT

We consider the following nonlinear Choquard equation with Dirichlet boundary condition $$-\Delta u =\left(\int_{\Omega}\frac{|u|^{2_{\mu}^{\ast}}}{|x-y|^{\mu}}dy ight)|u|^{2_{\mu}^{\ast}-2}u+\lambda f(u)\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} \Omega, $$ where $\Omega$ is a smooth bounded domain of $\mathbb{R}^N$, $\lambda>0$, $N\geq3$, $0<\mu<N$ and $2_{\mu}^{\ast}$ is the critical exponent in the sense of the Hardy-Littlewood-Sobolev inequality. Under suitable assumptions on different types of nonlinearities $f(u)$, we are able to prove some existence and multiplicity results for the equation by variational methods.

研究の動機と目的

• Hardy-Littlewood-Sobolev不等式によって定義される臨界成長を有するChoquard方程式の解の存在および多重性を調査すること。
• 非線形項 $ f(u) $ の種類が解構造に与える影響を分析すること。
• 有界領域における非局所的相互作用および臨界指数を含む方程式に変分法を拡張すること。
• 複数の非自明な解が存在するための十分条件を確立すること。

提案手法

• 弱解を研究するために、特に臨界点理論を用いた変分法を採用する。
• 非局所項を支配する臨界指数 $ 2_{ u}^{ullet} = \frac{2N - \mu}{N - 2} $ を、Hardy-Littlewood-Sobolev不等式を用いて定義する。
• 臨界指数および非局所積分項によるコンパクトネスの欠如を扱うために、濃縮・コンパクトネスの原理を適用する。
• エネルギー汎関数を解析し、弱解に対応する臨界点を同定する。
• Palais-Smale条件を保証するために、$ f(u) $ に構造的条件（例えば、亜臨界的または漸近的挙動）を課す。
• Sobolev空間における比較および埋め込み定理を用いて、非局所項を制御し、最小化列の有界性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 非線形項 $ f(u) $ がどのような条件下で、Hardy-Littlewood-Sobolev臨界指数を有するChoquard方程式が少なくとも1つの非自明な弱解を有するか？
• RQ2 非線形項 $ f(u) $ が特定の対称性または成長条件を満たす場合、複数の弱解が存在することを証明できるか？
• RQ3 非局所的相互作用項 $ \int_{\Omega} \frac{|u|^{2_{\mu}^{\ast}}}{|x-y|^\mu} dy $ は、有界領域における解の多重性にどのように影響するか？
• RQ4 パラメータ $ \lambda > 0 $ は解の存在および数にどのような役割を果たすか？
• RQ5 変分構造と臨界指数が、コンパクトネスおよび解の存在にどのように相互作用するか？

主な発見

• 本稿は、$ f(u) $ に対して一般な仮定（亜臨界的および漸近的に線形な成長）を課した場合、非自明な弱解が少なくとも1つ存在することを証明する。
• 非線形項 $ f(u) $ が追加の対称性または振動的条件を満たす場合、方程式は複数の弱解を有し、解の多重性が示される。
• 臨界指数 $ 2_{\mu}^{\ast} = \frac{2N - \mu}{N - 2} $ は、自然にHardy-Littlewood-Sobolev不等式から導かれ、非局所的相互作用の強度を支配する。
• Palais-Smale条件の精密な解析を通じて、変分枠組みは臨界指数および非局所項によるコンパクトネスの欠如を効果的に扱えることが示された。
• パラメータ $ \lambda > 0 $ は解の数および性質に影響を与え、適切な $ f(u) $ の下では、大きな値が複数の解の存在を可能にする可能性がある。