[論文レビュー] Existence and multiplicity results for the fractional Schrodinger-Poisson systems

Zhang Jin-guo|arXiv (Cornell University)|Jul 5, 2015

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 8被引用数 6

ひとこと要約

本稿は、アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を満たさない非線形性を有する分数階シュレーディンガー＝ポアソン系に対して、無限に多くの高エネルギー解の存在を確立する。奇性非線形性および緩い成長条件の下でフォンテーヌン定理を適用し、Cerami列の有界性を証明することで、$H^s(\mathbb{R}^3) \times D^t(\mathbb{R}^3)$ 内で作用汎関数の値が無限大に発散する無限に多くの解が得られる。

ABSTRACT

This paper is devoted to study the existence and multiplicity solutions for the nonlinear Schrödinger-Poisson systems involving fractional Laplacian operator: \begin{equation}\label{eq*} \left\{ \aligned &(-Δ)^{s} u+V(x)u+ ϕu=f(x,u), \quad & ext{in }\mathbb{R}^3, &(-Δ)^{t} ϕ=u^2, \quad & ext{in }\mathbb{R}^3, \endaligned ight. \end{equation} where $(-Δ)^α$ stands for the fractional Laplacian of order $α\in (0\,,\,1)$. Under certain assumptions on $V$ and $f$, we obtain infinitely many high energy solutions for \eqref{eq*} without assuming the Ambrosetti-Rabinowitz condition by using the fountain theorem.

研究の動機と目的

• 非定数ポテンシャルおよびアムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を満たさない非線形性を有する分数階シュレーディンガー＝ポアソン系に対して、無限に多くの高エネルギー解の存在を確立すること。
• 古典的シュレーディンガー＝ポアソン系に関する先行研究を、$s,t \in (0,1)$ の分数階ラプラシアン設定に拡張すること。
• 標準的でない（AR）条件を満たさない状況において、Cerami列の有界性を確認する課題を、代替仮定 $(f_3)$ および $(f_4)$ を導入することで克服すること。
• 非自明かつ非奇対称な非線形性 $f(x,u)$ を扱う非自己同型・非奇対称な状況において、フォンテーヌン定理のアプローチを弱い非線形性条件で一般化すること。

提案手法

• 強い不定汎関数に対するフォンテーヌン定理を用いて、変分的枠組みで無限に多くの臨界点を同定する。
• Cerami列の有界性を保証するため、条件 $(f_3)$: $|u|$ が大きいとき $uf(x,u) - 4F(x,u) \geq 0$ を課す。
• 成長制御とコンパクトネスの確保のため、条件 $(f_4)$: $\theta \mathcal{F}(x,u) \geq \mathcal{F}(x,\tau u)$（$\theta \geq 1$, $\tau \in [0,1]$）を採用する。
• 有限次元部分空間上のノルム同値性とエネルギー推定を用いて、Cerami列の有界性を確立する。
• 非線形性 $f(x,u)$ の奇性とエネルギー汎関数の偶性を活用し、対称的枠組みでフォンテーヌン定理を適用する。
• 分数階ソボレフ埋込とリーマン・イェルス型ポテンシャル $\phi_u^t$ の推定を用いて、非線形結合項 $\int \phi_u^t u^2\,dx$ を制御する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 アムブロセッティ＝ラビノヴィッツ条件を仮定しない分数階シュレーディンガー＝ポアソン系に対して、無限に多くの高エネルギー解を確立できるか？
• RQ2 非線形性 $f(x,u)$ が奇性であるが $F(x,u)$ が非負でない場合、フォンテーヌン定理は依然として適用可能か？
• RQ3 （AR）条件より弱い条件下で、特に $F(x,u)$ が符号を変える可能性がある場合に、Cerami列の有界性を保証できるか？
• RQ4 分数階設定において、無限に多くの解を保証するための $f(x,u)$ および $V(x)$ に対する成長および対称性条件は何か？

主な発見

• 条件 $(V)$, $(f_1)$--$(f_3)$, および $(f_5)$ の下で、$H^s(\mathbb{R}^3) \times D^t(\mathbb{R}^3)$ 内に無限に多くの高エネルギー解 $\{(u_k, \phi_{u_k}^t)\}$ が存在する。
• 作用汎関数 $I(u_k) \to +\infty$ が $k \to \infty$ のとき成り立ち、解が次第に高エネルギーであることが確認される。
• 条件 $(f_3)$ の下で、空間 $E = H^s(\mathbb{R}^3)$ 内でCerami列 $\{u_n\}$ が有界であることが保証され、フォンテーヌン定理の有効性が裏付けられる。
• 証明は、有限次元部分空間上でのノルム同値性と、$k \to \infty$ のときの $\beta_k = \sup_{\|u\|_E=1, u \in Z_k} \|u\|_{L^p}$ の減少性に依存する。
• $H^s(\mathbb{R}^3) \hookrightarrow L^4(\mathbb{R}^3)$ の埋込が成り立つためには $4s + 2t \geq 3$ が必要であり、これにより非線形性が適切に定義される。
• 本結果は、$F(x,u) \geq 0$ や（AR）条件の必要性を排除しつつも、フォンテーヌン定理を用いて無限に多くの解を導くという、先行研究の一般化である。