[論文レビュー] Existence and non-existence results for a class of semilinear nonlocal operators with exterior condition

Anup Biswas|arXiv (Cornell University)|May 2, 2018

Differential Equations and Boundary Problems参考文献 13被引用数 3

ひとこと要約

本稿では、確率的道具と熱核推定を用いて、外部条件を伴うクラスの非線形非局所作用素に対して、Ambrosetti-Prodi型現象を確立する。非局所問題が解を持たないのは ρ > ρ* のとき、ρ = ρ* のときは少なくとも1つの解が存在し、ρ < ρ* のときは少なくとも2つの解が存在するような臨界パラメータ ρ* が存在することを証明する。

ABSTRACT

We consider a class of semilinear nonlocal problems with vanishing exterior condition and establish a Ambrosetti-Prodi type phenomenon when the nonlinear term satisfies certain conditions. Our technique makes use of the probabilistic tools and heat kernel estimates.

研究の動機と目的

• Ψ(−Δ) の形をした非局所作用素に対して、Ambrosetti-Prodi現象を一般化すること。ここで Ψ は Bernstein 関数である。
• 消える外部条件を伴う非線形非局所問題の解の存在および多重性を分析すること。
• 解の存在領域を分ける臨界パラメータ ρ* を用いた分岐的挙動を確立すること。
• 確率的および解析的道具を用いて、局所楕円型偏微分方程式の古典的結果を非局所作用素へ拡張すること。
• 従属ブラウン運動生成子を含む非局所問題のための統一的枠組みを提供すること。

提案手法

• Ψ が Bernstein 関数であるとき、従属ブラウン運動の生成子 Ψ(−Δ) を用いて非局所作用素を定義すること。
• 非局所問題の解に対する精密な最大原理および境界挙動推定を用いること。
• [7, 9] の熱核推定を用いて、非局所設定における Hopf の補題の代わりとする。
• 解集合を有界化し、事前推定を確立するために、下解および上解を構成すること。
• 位相的次数理論およびホモトピー不変性を用いて、パラメータ ρ に応じた解の数を分析すること。
• 解写像 Sρ を定義し、Leray-Schauder の次数の切除およびホモトピー不変性を適用して多重性を証明すること。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 外部条件を伴う Ψ(−Δ) の形の非局所作用素に対し、Ambrosetti-Prodi 現象は継続するか？
• RQ2 非線形項 f(x,u) および作用素 Ψ(−Δ) にどのような条件を課すと、解の個数に分岐が生じるか？
• RQ3 臨界パラメータ ρ* は、主固有値および非局所作用素の構造とどのように関係するか？
• RQ4 古典的正則性や最大原理を欠く非局所問題に対し、次数論的手法をどのように適応できるか？
• RQ5 熱核推定および確率的表現は、存在および多重性の証明においてどのような役割を果たすか？

主な発見

• 臨界パラメータ ρ* が存在し、ρ > ρ* のとき非局所問題は解を持たない。
• ρ = ρ* のとき、少なくとも1つの解が存在し、事前推定および半群解の安定性を用いて確立される。
• ρ < ρ* のとき、少なくとも2つの異なる解が存在し、次数論および切除性質を用いて証明される。
• ρ が (−∞, ρ*] のコンパクト部分集合にあるとき、解集合は L∞(D) で一様有界であり、次数論的議論のためのコンパクト性が保証される。
• 精密な最大原理および境界挙動推定は、下解および上解を構成するために不可欠である。
• 本手法により、確率的道具と熱核推定を用いて、古典的 Ambrosetti-Prodi 結果が非局所作用素へ成功裏に一般化された。