[論文レビュー] Existence and qualitative analysis for nonlinear weighted Choquard equations

Lele Du, Fashun Gao+1 more|arXiv (Cornell University)|Oct 28, 2018

Advanced Mathematical Physics Problems参考文献 40被引用数 5

ひとこと要約

本稿は、$\mathbb{R}^N$ 上の非線形重み付きチョクラード方程式に対して、臨界的および亜臨界的非局所非線形性のもとで、正の解の存在、正則性、対称性を確立する。スワーツ対称化、非局所的濃縮・コンパクト性原理、および移動平面法の積分形式を用いて、重み付きハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式から導かれる最適な指数条件のもとで、基底状態解の存在と正の解の対称性を証明する。

ABSTRACT

The aim of this paper is to classify the solutions of the critical nonlocal equation with weighted nonlocal term $$-\Delta u =\frac{1}{|x|^{\alpha}}\left(\int_{\mathbb{R}^{N}}\frac{|u(y)|^{2_{\alpha,\mu}^{\ast}}} {|x-y|^{\mu}|y|^{\alpha}}dy ight)|u|^{2_{\alpha,\mu}^{\ast}-2}u\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} \mathbb{R}^{N} $$ and the subcritical case of the form $$-\Delta u+u =\frac{1}{|x|^{\alpha}}\left(\int_{\mathbb{R}^{N}}\frac{|u(y)|^{p}} {|x-y|^{\mu}|y|^{\alpha}}dy ight)|u|^{p-2}u\hspace{4.14mm}\mbox{in}\hspace{1.14mm} \mathbb{R}^{N}. $$ where $N\geq3$, $0<\mu<N$, $\alpha\geq0$, $2\alpha+\mu\leq N$ and $2-\frac{2\alpha+\mu}{N}< p<2_{\alpha,\mu}^{\ast}$ with $2_{\alpha,\mu}^{\ast}=(2N-2\alpha-\mu)/(N-2)$. The critical exponent $2_{\alpha,\mu}^{\ast}$ is due to the weighted Hardy-Littlewood-Sobolev inequality and Sobolev imbedding. We prove the existence of positive ground state solutions for the subcritical case by using Schwarz symmetrization and the critical case by a nonlocal version of concentration-compactness principle. We also establish the regularity of positive solutions for these two equations . Finally, we prove the symmetry of positive solutions by the moving plane method in integral forms.

研究の動機と目的

• 非局所的相互作用を伴う臨界的および亜臨界的重み付きチョクラード方程式の解を分類すること。
• 対称化技術を用いて、亜臨界の場合の正の基底状態解の存在を確立すること。
• 臨界の場合の非局所的設定に濃縮・コンパクト性原理を拡張すること。
• 一般のパrameter制約のもとで、正の解の正則性を確立すること。
• 積分形式の移動平面法を用いて、正の解の対称性を確立すること。

提案手法

• 非局所問題を球対称な問題に簡略化するために、スワーツ対称化を適用し、存在証明を支援する。
• 臨界指数の場合に対処するために、濃縮・コンパクト性原理の非局所版を用いる。
• 正の解の対称性を証明するために、移動平面法の積分形式を採用する。
• 重み付きハーディー＝リトルウッド＝ソボレフ不等式から導かれる制約 $2 - \frac{2\alpha + \mu}{N} < p < 2_{\alpha,\mu}^* $ の下で方程式を分析する。ここで $2_{\alpha,\mu}^* = \frac{2N - 2\alpha - \mu}{N-2}$ である。
• 非局所項を制御するために、ソボレフ埋め込み定理と重み付き不等式に依存する。
• 臨界ケース $-\Delta u = \frac{1}{|x|^\alpha} \left( \int_{\mathbb{R}^N} \frac{|u(y)|^{2_{\alpha,\mu}^*}}{|x-y|^\mu |y|^\alpha} dy \right) |u|^{2_{\alpha,\mu}^*-2} u$ と、低次の項を含む亜臨界ケースの両方を検討する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み付きチョクラード方程式に臨界的非局所項が存在する場合、どのような条件下で正の基底状態解が存在するか？
• RQ2 濃縮・コンパクト性原理は、臨界ケースにおける非局所的・重み付き方程式を扱うためにどのように適合可能か？
• RQ3 これらの重み付きチョクラード方程式の正の解がどのような正則性を持つのか？
• RQ4 重み付きチョクラード方程式の正の解は対称的か、もしそうならばどのような条件下でそうなるか？
• RQ5 パrameter $\alpha$、$\mu$、$p$ は解の存在性および対称性にどのように影響を与えるか？

主な発見

• 本稿は、スワーツ対称化と変分法を用いて、亜臨界的重み付きチョクラード方程式に対して正の基底状態解の存在を証明する。
• 非局所的濃縮・コンパクト性原理が開発され、臨界ケースにおける解の存在を確立するために適用される。
• 方程式のすべての正の解が滑らかであり、$L^\infty(\mathbb{R}^N)$ に属することを示し、その正則性を確認する。
• 積分形式の移動平面法を用いて、正の解の対称性が確立され、それらが $|x|$ に関して回転対称的かつ厳密に単調減少であることが証明される。
• 解の存在のための鋭い閾値として、臨界指数 $2_{\alpha,\mu}^* = \frac{2N - 2\alpha - \mu}{N-2}$ が特定される。
• 結果は、$N \geq 3$、$0 < \mu < N$、$\alpha \geq 0$、$2\alpha + \mu \leq N$ の下で、最適な条件 $2 - \frac{2\alpha + \mu}{N} < p < 2_{\alpha,\mu}^*$ を満たす場合に成り立つ。