[論文レビュー] Existence and regularity of Faber Krahn minimizers in a Riemannian manifold

Jimmy Lamboley, Pieralberto Sicbaldi|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2019

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 59被引用数 8

ひとこと要約

本稿は、固定体積下でのリーマン多様体上でのラプラシアン＝ベルトラミー作用素の第一ノイマン固有値を最小化する領域（Faber-Krahn最小化子）の存在および正則性を確立する。コンパクト多様体上では存在を示し、非コンパクトな設定では反例を提示する。また、自由境界正則性理論とブロー・アップ解析を用いて、最小化子の境界はハウスドルフ余次元5以上の特異集合を除き滑らかであることを示す。

ABSTRACT

In this paper, we study the minimization of $\\lambda_{1}(\\Omega)$, the first Dirichlet eigenvalue of the Laplace-Beltrami operator, within the class of open sets $\\Omega$ of fixed volume in a Riemmanian manifold $(M,g)$. In the Euclidian setting (when $(M,g)=(\\mathbb{R}^n,e)$), the well-known Faber-Krahn inequality asserts that the solution of such problem is any ball of suitable volume. Even if similar results are known or may be expected for Riemannian manifolds with symmetries, we cannot expect to find explicit solutions for general manifolds $(M,g)$. In this paper we study existence and regularity properties for this spectral shape optimization problem in a Riemannian setting, in a similar fashion as for the isoperimetric problem. We first give an existence result in the context of compact Riemannian manifolds, and we discuss the case of non-compact manifolds by giving a counter-example to existence. We then focus on the regularity theory for this problem, and using the tools coming from the theory of free boundary problems, we show that solutions are smooth up to a possible residual set of co-dimension 5 or higher.

研究の動機と目的

• コンパクトリーマン多様体上での第一ノイマン固有値に対するFaber-Krahn最小化子の存在を確立すること。
• 非コンパクトリーマン多様体上でも同種の最小化子が存在するかどうかを調査し、一般には存在しないことの反例を提示すること。
• Faber-Krahn最小化子の境界の正則性、特に特異集合の構造を分析すること。
• 等周問題および自由境界理論からの技術を、多様体上でのスペクトル形状最適化に拡張すること。
• 体積関数としてのFaber-Krahnプロファイルを特徴づけ、多様体の幾何学的・スペクトル的性質と関連付けること。

提案手法

• コンパクトリーマン多様体上での最小化子の存在を示すために変分法の直接的技法を用いる。
• 固有値問題 $-\Delta_g u = \lambda_1 u$ が $\Omega^*$ 内で、$u=0$ を $\partial\Omega^*$ 上に満たす場合に、粘性解および楕円型正則性理論を適用する。
• Alt-Caffarelli型問題からの自由境界正則性結果を、重み付き発散型方程式を介してリーマン的設定に適応する。
• 境界 $\partial\Omega^*$ の特異集合の構造を調べるために、ブロー・アップ解析および単調性公式を用いる。
• Weissの単調性および密度ギャップの議論を適用し、特異集合がハウスドルフ余次元5以上であることを示す。
• Federer–FlemingおよびWeissの還元原理を用いて、特異点におけるブロー・アップを分析し、特異集合の次元に関する境界を得る。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 コンパクトリーマン多様体上では、第一ノイマン固有値に対するFaber-Krahn最小化子が存在するか？
• RQ2 非コンパクトリーマン多様体上でも、Faber-Krahn最小化子の存在を保証できるか？
• RQ3 一般のリーマン多様体上でのFaber-Krahn最小化子の境界の正則性はいかほどか？
• RQ4 ハウスドルフ次元で見た場合、境界の特異集合はどの程度の大きさになるか？
• RQ5 等周問題からの技術を、多様体上でのスペクトル形状最適化にどの程度適応できるか？

主な発見

• $(M,g)$ がコンパクトリーマン多様体であるとき、任意の固定体積 $m \in (0, \mathrm{Vol}_g(M))$ に対してFaber-Krahn最小化子が存在する。
• 非コンパクトリーマン多様体上では、Faber-Krahn最小化子が一般には存在しないことの反例が構成された。
• 任意のFaber-Krahn最小化子の境界は、ハウスドルフ余次元5以上の閉特異集合を除き $C^{1,\alpha}$ 正則である。
• $n$ 次元多様体において、境界の特異集合のハウスドルフ次元は高々 $n-5$ である。
• 正則性結果は、ブロー・アップ解析および自由境界理論からの単調性および密度ギャップ技法の応用により得られた。
• Faber-Krahnプロファイル $FK(m)$ は $(0, \mathrm{Vol}_g(M))$ 上で適切に定義され、下半連続であり、最小化子の第一固有値と一致する。