[論文レビュー] Existence and regularity of positive solutions of quasilinear elliptic problems with singular semilinear term

J.V. Gonçalves, Marcos L. M. Carvalho+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 24, 2017

Nonlinear Partial Differential Equations参考文献 25被引用数 5

ひとこと要約

本稿では、$Φ$-ラプラシアン作用素を含む特異な半線形項を有する擬線形楕円型問題に対して、正の解の存在および$L^∞$-正則性を確立する。一般化されたガレルキン法とオーロイツ＝ソボレフ空間内でのモーザー反復スキームを用いて、重み関数$a(x)$の可積分性条件下で解の存在を証明し、$N$-関数$Φ$の鋭い成長推定に基づき解の有界性を確立する。本結果は、古典的な特異問題を$p$-ラプラシアンやラプラシアンに限局した場合から、構造的条件$(φ_1)$--$(φ_3)$を満たす$N$-関数によって定義されるより広範な非線形作用素のクラスへと拡張する。

ABSTRACT

This paper deals with existence and regularity of positive solutions of singular elliptic problems on a smooth bounded domain with Dirichlet boundary conditions involving the $Φ$-Laplacian operator. The proof of existence is based on a variant of the generalized Galerkin method that we developed inspired on ideas by Browder and a comparison principle. By using a kind of Moser iteration scheme we show $L^{\infty}(Ω)$-regularity for positive solutions

研究の動機と目的

• 特異な下位項を有する擬線形楕円型方程式に対して、$Φ$-ラプラシアン作用素を含む正の弱解の存在を確立すること。
• 重み関数$a(x)$の最小限の可積分性仮定のもとで、その解の正則性、特に$L^∞(\Omega)$における有界性を調査すること。
• 従来、$p$-ラプラシアンやラプラシアンの場合に限られていた特異問題に関する既存の結果を、構造的条件$(φ_1)$--$(φ_3)$を満たす$N$-関数によって定義される一般の作用素クラスへと拡張すること。
• 特異性および非線形性に対応するため、オーロイツ＝ソボレフ空間に適応された、一般化されたガレルキン法の新規な変種を開発・適用すること。
• モーザー反復による正則性解析を支えるために、オーロイツ空間におけるコンパクトかつ連続的埋め込みを確立すること。

提案手法

• ブラウデアのアプローチにインspiredされた一般化されたガレルキン法を考案し、$W_0^{1,Φ}(\Omega)$の有限次元部分空間内で近似解を構成する。
• 重み関数$a(x) \in L^1(\Omega)$を仮定し、$a d^{-\alpha} \in L_{\widetilde{\Phi}}(\Omega)$または$0 < \alpha \leq 1$かつ$a \in L^{\ell^*/(\ell^*+\alpha-1)}(\Omega)$のいずれかを満たす場合に、比較原理およびオーロイツ＝ソボレフ空間内での弱収束の議論により解の存在を確立する。
• 正の解の$L^\infty(\Omega)$-有界性を導くために、関数$\phi$に関する構造的条件$(\phi_1)$--$(\phi_3)$を活用したモーザー反復スキームを適用する。
• $\Phi$-ラプラシアン作用素は$\Delta_\Phi u = \mathrm{div}(\phi(|\nabla u|)\nabla u)$として定義され、$\Phi(t) = \int_0^t s\phi(s)\,ds$を満たす。解析はオーロイツおよびオーロイツ＝ソボレフ空間の枠組みで行われる。
• 等価ノルムを定義するために、$\|u\|_\Phi \leq 2d_\Omega \|\nabla u\|_\Phi$のようなピカール型不等式が用いられる。
• 近似過程における収束性とコンパクト性を保証するため、$\Psi << \Phi_*$を満たす$W_0^{1,\Phi}(\Omega) \hookrightarrow L_\Psi(\Omega)$のような埋め込み定理が用いられる。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 重み関数$a(x)$および$N$-関数$\Phi$にどのような条件を課すと、領域$\Omega$において$-\mathrm{div}(\phi(|\nabla u|)\nabla u) = a(x)/u^\alpha$を満たす正の弱解が存在するか？
• RQ2 古典的なモーザー反復技法を、特異な非線形性を有する$Φ$-ラプラシアン作用素に適応可能か？ その場合、解の$L^\infty$-正則性を証明できるか？
• RQ3 オーロイツ＝ソボレフ空間における解の存在を保証するため、$a(x)$および$\phi$に必要な最小限の可積分性および成長条件は何か？
• RQ4 関数$\phi$に関する構造的条件$(\phi_1)$--$(\phi_3)$は、解の正則性および有界性にどのように影響を与えるか？
• RQ5 オーロイツ空間とルベーグ空間の間の埋め込みは、ガレルキン近似におけるコンパクト性および収束性をどの程度支援するか？

主な発見

• 重み関数$a(x)$が$L^1(\Omega)$に属し、かつ$a d^{-\alpha} \in L_{\widetilde{\Phi}}(\Omega)$または$0 < \alpha \leq 1$かつ$a \in L^{\ell^*/(\ell^*+\alpha-1)}(\Omega)$を満たす場合、正の解$u$が$W_0^{1,\Phi}(\Omega)$に存在し、$u^{(\alpha-1+\ell)/\ell} \in W_0^{1,\ell}(\Omega)$かつ$\Omega$ almost everywhere で$u \geq C d(x)$（$C > 0$）を満たす。
• 解$u$は$W^{1,\Phi}_{\mathrm{loc}}(\Omega)$に属し、局所的な高階可積分性および微分可能性を保証する。
• 解$u$は$L^\infty(\Omega)$に有界であり、その有界性は関数$\phi$の成長条件$(\phi_1)$--$(\phi_3)$を活用したモーザー反復スキームにより導出される。
• $L^\infty$-正則性は、$\Phi$が$\Delta_2$-条件を満たすと仮定することで確立され、オーロイツ空間内での必要なコンパクト性および収束性を保証する。
• $W_0^{1,\Phi}(\Omega) \hookrightarrow L_\Phi(\Omega)$はコンパクトであり、$W_0^{1,\Phi}(\Omega) \hookrightarrow L_{\Phi_*}(\Omega)$は連続的である。これらはガレルキン近似の収束に不可欠である。
• 既知の$p$-ラプラシアンおよび$p(x)$-ラプラシアン特異問題に関する存在および正則性結果が、$Φ$-ラプラシアン作用素のより広範なクラスへと一般化される。具体的には、$-\Delta_p u - \Delta_q u = a(x)/u^\alpha$や$-\mathrm{div}(a(|\nabla u|^p)|u|^{p-2}\nabla u) = a(x)/u^\alpha$のようなケースも含む。