[論文レビュー] Existence and Regularity of Solutions to Multi-Dimensional Mean-Field Stochastic Differential Equations with Irregular Drift

Martin Bauer, Thilo Meyer‐Brandis|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2019

Stochastic processes and financial applications参考文献 33被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、可測で線形成長度を超えない不規則なドリフト係数をもつ多次元平均場SDEに対して、強い解の存在、一意性、正則性を確立する。マリヤンとソボレフの微分法を用いて、解のマリヤン微分可能性、初期値に関するソボレフ微分可能性、時間および初期条件におけるホルダー連続性を証明し、期待値関数に対する初期条件微分のBismut-Elworthy-Li型公式を導出する。

ABSTRACT

We examine existence and uniqueness of strong solutions of multi-dimensional mean-field stochastic differential equations with irregular drift coefficients. Furthermore, we establish Malliavin differentiability of the solution and show regularity properties such as Sobolev differentiability in the initial data as well as Hölder continuity in time and the initial data. Using the Malliavin and Sobolev differentiability we formulate a Bismut-Elworthy-Li type formula for mean-field stochastic differential equations, i.e. a probabilistic representation of the first order derivative of an expectation functional with respect to the initial condition.

研究の動機と目的

• 平均場SDEの強解の存在および正則性に関する1次元の結果を、不規則なドリフト係数をもつ多次元の場合に拡張すること。
• ドリフト係数の可測性および線形成長度を仮定する最小限の条件下で、解のマリヤン微分可能性を確立すること。
• リオンズの導出フレームワークに依存せずに、初期データに関するソボレフ微分可能性を証明すること。
• 期待値関数に対する初期条件微分のBismut-Elworthy-Li型公式を導出すること。
• 同一の正則性仮定のもとで、解の時間および初期データに関するホルダー連続性を示すこと。

提案手法

• ドリフト係数が可測で、線形成長度を超えないこと、かつ分布変数に関して連続であると仮定し、事前推定および近似技術を用いてパスごとの一意性および強解の存在を確立する。
• ドリフトを有界可測部とリプシッツ連続部に分解することで、正則性解析を容易にする。
• SDEの構造とドリフト成分の有界性を活用し、マリヤン微分法を用いて解のマリヤン微分可能性を証明する。
• リオンズ導出を避けるために、ソボレフ微分法を用いて初期条件に関する解の微分可能性を確立する。
• マリヤンおよびソボレフ微分可能性の性質を用いて、期待値関数の勾配の確率的表現を提供するBismut-Elworthy-Li公式を導出する。
• ギルサノフの定理および確率的指数の推定を用いて、近似列の収束を制御し、主要な式の可積分性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 可測で線形成長度を超えない不規則なドリフト係数をもつ多次元平均場SDEに対して、強い解が存在する条件は何か？
• RQ2 ドリフト係数の正則性仮定を最小限に抑えた場合でも、解のマリヤン微分可能性は確立可能か？
• RQ3 リオンズ導出フレームワークを用いずに、初期データに関する解のソボレフ微分可能性は成立するか？
• RQ4 同一の仮定のもとで、解の正則性特性（例えば、時間および初期条件におけるホルダー連続性）はどのようなものか？
• RQ5 平均場SDEに対して、Bismut-Elworthy-Li型公式を導出可能か？ これは、初期条件に関する期待値関数の微分の確率的表現を提供する。

主な発見

• 可測で線形成長度を超えないこと、かつ分布変数に関して連続なドリフト係数をもつ多次元平均場SDEに対して、パスごとの一意な強い解が存在する。
• 同一の仮定のもとで、解はマリヤン微分可能である。これにより、変動の確率的微積分学が利用可能になる。
• リオンズ導出を用いずに、初期データに関するソボレフ微分可能性が成立する。これは、新たな解析的経路を提供する。
• 時間および初期データに関して、解はホルダー連続である。これは、与えられたドリフト係数の条件下での経路の正則性を確認する。
• Bismut-Elworthy-Li型公式が導出され、期待値関数の勾配 $ \nabla_x \bbE[\tilde{\rho}(X_T^x)] $ が確率積分の形で確率的表現される。
• ドリフト係数の近似列の収束が、$ L^p $ で可積分性および収束性を保つことが示され、結果の堅牢性が保証される。