[論文レビュー] Existence and stability of kayaking orbits for nematic liquid crystals in simple shear flow

D. R. J. Chillingworth, M. Gregory Forest+2 more|arXiv (Cornell University)|Jan 24, 2021

Nonlinear Dynamics and Pattern Formation参考文献 96被引用数 2

ひとこと要約

本稿は、等長的力学系理論を用いて、定常せん断流れ下におけるネマチック液体結晶におけるカヤッキング周期的軌道の存在および漸近的安定性を確立する。速度勾配の対称的成分を小さな摂動とみなすことにより、著者らは2次までのリャプノフ＝シュミット還元を適用し、SO(3)回転群からの対称性破れ分岐によって中立的に安定なカヤッキング軌道が出現することを証明し、液体結晶力学における長年の未解決問題を、厳密な幾何的解析によって解決する。

ABSTRACT

We use geometric methods of equivariant dynamical systems to address a long-standing open problem in the theory of nematic liquid crystals, namely a proof of the existence and asymptotic stability of kayaking periodic orbits for which the principal axis of orientation of the molecular field (the director) rotates around the vorticity axis in response to steady shear flow. With a small parameter attached to the symmetric part of the velocity gradient, the problem can be viewed as a symmetry-breaking bifurcation from an orbit of the rotation group~$\SO(3)$ that contains both logrolling (equilibrium) and tumbling (periodic rotation of the director within the plane of shear) regimes as well as a continuum of kayaking orbits. The results turn out to require expansion to second order in the perturbation parameter.

研究の動機と目的

• 定常せん断流れ下におけるネマチック液体結晶におけるカヤッキング周期的軌道の存在および安定性を証明するという、長年の未解決問題を解消すること。
• Qテンソルモデルの力学を、SO(3)不変性からの対称性破れ分岐として分析すること。
• 2次摂動解析を用いて、カヤッキング軌道の厳密な存在および漸近的安定性を確立すること。
• 無限次元系に適用可能な、幾何的かつ解析的枠組みを提供すること。

提案手法

• 速度勾配の対称的成分に小さな摂動パラメータを導入し、Qテンソルモデルを用いてネマチック液体結晶の力学をモデル化する。
• 系のSO(3)等長性を活用して、回転群からの分岐を解析し、ロールロールやタンブル状態を含む。
• 無限次元問題を有限次元の分岐関数に還元するため、2次までのリャプノフ＝シュミット還元技術を適用する。
• Poincaré写像技術を用いて、還元された系における周期的軌道およびその安定性を研究する。
• 摂動の一次および二次項の寄与を含め、2次まで explicitly に分岐関数を計算する。
• 不変理論および回転生成子の固有空間分解を用いて、分岐関数の係数の式を導出する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 定常せん断流れ下で、ネマチック配向子がせん断面から外れ、渦度軸回りに回転する安定な周期的軌道が存在するか？
• RQ2 幾何的および分岐理論的手法を用いて、カヤッキング軌道の存在および安定性を厳密に証明できるか？
• RQ3 速度勾配の対称的成分における2次摂動が、SO(3)対称性群からのカヤッキング軌道の出現にどのように影響するか？
• RQ4 Qテンソル発展方程式の係数が、得られる周期的軌道の安定性を決定づける役割を果たすか？
• RQ5 リャプノフ＝シュミット還元法を2次まで拡張することで、対称性破れ分岐の完全な力学を捉えることができるか？

主な発見

• 本稿は、Qテンソルモデルにおけるせん断流れ下で、SO(3)対称性群からの1パラメータ族の中立的に安定なカヤッキング周期的軌道が存在することを証明する。
• 2次までのリャプノフ＝シュミット還元を用いて、カヤッキング軌道の漸近的安定性が確立され、分岐関数が原点で単純な零点を持つことが示された。
• 2次項が不可欠であることが判明した。1次までの解析だけでは、軌道の存在を捉えることはできない。
• 分岐関数の係数は、Qテンソルの不変量およびせん断率を用いて明示的に計算され、v1*, v2*, v4* および w3 の寄与が含まれる。
• 線形化作用素のLl(Q)成分のみが、分岐関数の2次項に寄与することが解析で示された。これにより、安定性解析が簡略化された。
• 分岐関数の係数Λ0およびΛ2の導出式は、2次項の寄与から導かれた特定の不等式を満たす場合に、安定な周期的解が存在することを確認している。