[論文レビュー] Existence and uniqueness for anisotropic and crystalline mean curvature flows

Antonin Chambolle, Massimiliano Morini+2 more|arXiv (Cornell University)|Feb 9, 2017

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 57被引用数 30

ひとこと要約

本稿では、任意の凸な移動度および時間に依存する有界な力項を伴う異方的かつ結晶性平均曲率流れの存在および一意性（太りあふれを除く）を、比較原理と近似安定性を保証する、新たな分布的レベルセット定式化を用いて確立する。この手法により、最小化移動法とレベルセット法が統合され、特異性や太りあふれが存在する状況においても、Almgren-Taylor-Wangスキームが一意なフラットフローに収束することを証明する。

ABSTRACT

An existence and uniqueness result, up to fattening, for crystalline mean curvature flows with forcing and arbitrary (convex) mobilities, is proven. This is achieved by introducing a new notion of solution to the corresponding level set formulation. Such a solution satisfies the comparison principle and a stability property with respect to the approximation by suitably regularized problems. The results are valid in any dimension and for arbitrary, possibly unbounded, initial closed sets. The approach accounts for the possible presence of a time-dependent bounded forcing term, with spatial Lipschitz continuity. As a by-product of the analysis, the problem of the convergence of the Almgren-Taylor-Wang minimizing movements scheme to a unique (up to fattening) "flat flow" in the case of general, possibly crystalline, anisotropies is settled.

研究の動機と目的

• 一般の凸な移動度および時間に依存する力項を伴う結晶性平均曲率流れの存在および一意性に関する長年の未解決問題を解消すること。
• 比較原理と近似安定性を満たす新たな分布的レベルセット方程式の定式化を導入すること。
• 特異性や太りあふれが存在する状況においても、Almgren-Taylor-Wangの最小化移動スキームが一意なフラットフローに収束することを確立すること。
• 結晶性設定における幾何的流れの変分的（最小化移動）およびPDEに基づく（レベルセット）アプローチを統合すること。
• 任意の次元における任意の閉じた初期集合（有界でないものも含む）にまで理論を拡張すること。

提案手法

• 異方的平均曲率流れのレベルセット定式化に対して、曲率の進化を分布的定式化によって定義する新たな解の概念を導入する。
• 提案された分布的解に対して比較原理を証明し、太りあふれを除く一意性を保証する。
• 最小化移動スキーム（Almgren-Taylor-Wang）を用いて、流れの離散時間近似を構築する。
• 移動度および異方性の摂動に対してATWスキームの安定性を確立し、時間ステップをゼロに近づける極限において、流れへの収束を示す。
• 非滑らか（結晶性）の異方性を持つ場合でさえも、ATWスキームの局所一様収束を、一意なレベルセット解に示す。
• 密度推定とバリア構成を活用して、Wulff形状の進化を制御し、一様なバインディングを保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 一般の凸な移動度および時間に依存する力項を伴う結晶性平均曲率流れについて、存在性と一意性を確立できるか？
• RQ2 結晶性の場合において、Almgren-Taylor-Wangの最小化移動スキームが一意なフラットフローに収束するか？
• RQ3 異方性が非滑らかであっても、比較原理と近似安定性を満たすレベルセット定式化を構築できるか？
• RQ4 移動度および異方性が滑らかに近似された場合でも、ATWスキームの収束が保たれるか？
• RQ5 新しい分布的定式化は、結晶性の場合における粘性解とどのように関係するか？

主な発見

• 提案された分布的定式化により、比較原理と安定性が保証され、太りあふれを除くレベルセット流れの存在および一意性が得られる。
• Almgren-Taylor-Wangの最小化移動スキームは、任意の初期閉集合に対して、結晶性の場合でさえも一意なフラットフローに収束する。
• ATWスキームの収束は、移動度および異方性の近似に対しても安定しており、非滑らか（結晶性）関数への極限においても成立する。
• 新しい定式化によるレベルセット解は、定数力項および純粋な結晶性異方性を持つ3次元の場合に、Giga-Požárの粘性解と一致する。
• 理論は任意の次元および任意の初期閉集合（有界でないものも含む）に適用可能である。
• 結果として、非滑らかの場合への異方的Allen-Cahn方程式の収束理論が拡張され、解が一意なレベルセット流れのゼロレベル集合に収束することが確認される。