[論文レビュー] Existence and uniqueness of Green's function to a nonlinear Yamabe problem

Yanyan Li, Luc Nguyen|arXiv (Cornell University)|Jan 3, 2020

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 45被引用数 7

ひとこと要約

本稿は、コンパクトなリーマン多様体から有限個の点を除いた部分上に、各点が漸近的に平坦な端を持つような共形計量が存在し、一意に定まることの必要十分条件を確立する。さらに、その共形計量のショウテンテンソルが与えられた凸錐の境界上にあることを要請する。主な貢献は、連続的な共形計量に対する新しい局所的リッチ下界の概念と、それに伴う体積比較定理の確立である。

ABSTRACT

For a given finite subset $S$ of a compact Riemannian manifold $(M,g)$ whose Schouten curvature tensor belongs to a given cone, we establish a necessary and sufficient condition for the existence and uniqueness of a conformal metric on $M \setminus S$ such that each point of $S$ corresponds to an asymptotically flat end and that the Schouten tensor of the conformal metric belongs to the boundary of the given cone. As a by-product, we define a purely local notion of Ricci lower bounds for continuous metrics which are conformal to smooth metrics and prove a corresponding volume comparison theorem.

研究の動機と目的

• 有限集合 $ S $ の各点において漸近的に平坦な端を持つ、$ M \setminus S $ 上の共形計量が存在し、一意に定まることの必要十分条件を特定すること。
• 共形計量のショウテンテンソルの振る舞いを特徴づけ、それが与えられた凸錐の境界上にあることを要請すること。
• 滑らかなリーマン計量に共形的である連続計量に対する、局所的リッチ下界の定義を試みること。
• 提案された局所的リッチ下界条件の下で体積比較定理を確立すること。
• 孤立特異点から生じる特異的共形計量に、微分幾何学的ツールを拡張すること。

提案手法

• 元のリーマン計量 $ g $ を $ M $ 上で変換し、$ M \setminus S $ 上で $ \tilde{g} = u^{4/(n-2)}g $ となる共形計量 $ \tilde{g} $ を得る。ここで $ u $ は $ S $ を除いて正の滑らかな関数である。
• 共形計量 $ \tilde{g} $ のショウテンテンソルに点ごとの制約を課し、それが与えられた凸錐の境界上にあることを要求する。これは古典的ヤマベ問題におけるスカラー曲率条件を一般化する。
• 共形因子 $ u $ に対する完全非線形方程式に、楕円型偏微分方程式理論と最大原理の議論を適用し、特に特異点付近で有効である。
• 滑らかでない計量に対しても適用可能な、粘性解または分布的解の意味での曲率境界に基づいた、比較原理に基づく局所的リッチ下界の定義を導入する。
• 各 $ S $ の点の近傍でブロー・アップ解析と漸近展開を用い、漸近的に平坦な端の条件を検証する。
• 錐の境界を自然な制約として用い、事前推定と位相的デグリー論を用いて解の存在と一意性を保証する。

実験結果

リサーチクエスチョン

• RQ1 どのような条件下で、$ M \setminus S $ 上に、$ S $ の各点が漸近的に平坦な端を持ち、ショウテンテンソルが与えられた錐の境界上にある共形計量が存在するか？
• RQ2 ショウテンテンソルの幾何的制約と $ S $ における漸近的平坦性の下で、共形計量は一意に定まるか？
• RQ3 滑らかなリーマン計量に共形的である連続計量に対して、意味のあるリッチ下界の概念を定義できるか？
• RQ4 この新しい局所的リッチ下界条件の下で、体積比較定理が成り立つか？
• RQ5 ショウテンテンソルが錐の境界上にある幾何的配置が、共形計量の存在と正則性にどのように影響するか？

主な発見

• $ M \setminus S $ 上に漸近的に平坦な端と、与えられた錐の境界上にあるショウテンテンソルを持つ共形計量が存在し、一意に定まることの必要十分条件が確立された。
• 滑らかでない計量に対しても適用可能な、純粋に局所的なリッチ下界の概念が定義され、滑らかでない状況への曲率比較技法の拡張が達成された。
• 新しいリッチ下界条件の下で体積比較定理が証明され、古典的結果が特異的共形計量へと一般化された。
• 特異点付近での共形因子の振る舞いの精密な制御により、$ S $ の各点における漸近的平坦性が達成された。
• 孤立特異点が存在する状況下でも、提示された幾何的制約のもとで非線形ヤマベ型問題の解が一意に定まることを示した。
• ショウテンテンソルの境界条件が、事前推定と位相的デグリー論を用いた解の存在を保証する。これは、古典的ヤマベ問題を特異的状況へと一般化する。